题目内容

4．如图所示，水平面左侧固定有光滑斜面ABC，斜面与水平面平滑相连．水平面上D点置一小球，小球系一长为R的细线，细线另一端固定在D点正上方O点，水平面右侧E处有一竖直墙壁，小物块与水平面DE间动摩擦因数为μ，其余皆光滑．小物块从斜面上一定高度处由静止释放，滑到水平面与小球发生碰撞，碰后小球恰好能做完整的圆周运动，当小球与小物块发生第三次碰撞后恰能摆到与O点相平的位置．已知小物块与小球质量均为m且都可看成质点，小物块与小球及墙壁的碰撞都是弹性碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．小物块释放的高度为$\frac{5}{2}$RB．DE间的距离为$\frac{3R}{2μ}$
C．小物块在DE间运动的路程为$\frac{5R}{μ}$D．小物块与小球共发生4次碰撞

分析 小球恰好在竖直平面内做完整的圆周运动时，在最高点，由重力提供向心力，由此可求出小球通过最高点时的临界速度；小物块与小球质量相等，发生弹性碰撞后交换速度．对滑块从下滑到与小球碰撞过程运用动能定理列式，联立方程组求解小物块释放的高度．
根据小球与小物块发生第三次碰撞后恰能摆到与O点相平的位置，由动能定理求DE间的距离．
小物块与小球碰撞后，速度传递给小球，小球在竖直平面内做圆周运动，经过一圈后从左侧碰撞小物块，速度传递给物块，物块向右移动，碰撞挡板后返回，再次通过碰撞将速度传递给小球，小球顺时针转动一周，从右侧通过碰撞将速度传递给物块，物块向左移动，冲上斜面后返回，再次从左侧碰撞小球，完成一个周期的运动；此后不断重复这个过程，直到小球不能做完整的圆周运动为止．对整个过程，运用能量守恒定律列式，求出小物块在DE段通过的总路程，再求小物块与小球碰撞的次数．

解答 解：A、小球刚能完成一次完整的圆周运动时，设它到最高点的速度为v0，在最高点，仅有重力充当向心力，则有：
  mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$ 
在小物块B从h处运动到最低点的过程中，由动能定理可知：
   mgh=$\frac{1}{2}$mv2；
碰后小物块与小球交换速度，对小球由最低点到最高点过程，由机械能守恒定律可得：
  mg•2R+$\frac{1}{2}$mv02=$\frac{1}{2}$mv2
联立解得：v=$\sqrt{5gR}$，h=$\frac{5}{2}$R，故A正确．
B、小球与小物块发生第三次碰撞后恰能摆到与O点相平的位置，设第三次碰后小球的速度为v1．
由机械能守恒定律得 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，得 v1=$\sqrt{2gR}$
则第三次碰撞前小物体的速度大小等于v1=$\sqrt{2gR}$．
设DE间的距离为S．
对第二碰撞后到第三次碰撞前的过程，对小物块，由动能定理得-μmg•2S=$\frac{1}{2}$mv12-$\frac{1}{2}$mv2；
解得 S=$\frac{3R}{4μ}$，故B错误．
CD、设小物块在DE间运动的路程为S总，根据能量守恒定律，有 μmg•S总=mgh，解得 S总=$\frac{5R}{2μ}$
设小物块与小球共发生n次碰撞．
因为 $\frac{{S}_{总}}{S}$=$\frac{5}{3}$
所以小物块与小球共发生3次碰撞．故CD错误．
故选：A

点评 本题关键要明确物体的运动过程，以及知道摩擦产生的热量为：Q=f•△S，其中△S为总路程，同时要能结合能量守恒定律、牛顿第二定律、向心力公式进行研究．

练习册系列答案
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