Question

20．如图所示，光滑固定的AB规带由半径r₁=0.6m和半径为r₂=0.3m的两段圆弧相切连接，其中AC弧对应的圆心角为30°，A点与圆弧的圆心O₁等高，CB弧对应的圆心角为60°，位于光滑水平地面上的木板左端固定一长度不计的轻质弹簧，木板紧靠原话轨道放置，其上表面与圆弧轨道相切于B点，现将一质量为m=2kg的小物块（可视为质点）．从圆弧轨道的最高点A由静止滑下，经最低点B后滑到木板上，物块先将弹簧压缩至最短位置，弹簧后将物块重新弹开．物块恰好回到木板的右端而不掉下来，已知木板质量M=3kg，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，取g=10m/s²，求
（1）小物块经过B点时对圆弧轨道压力的大小；
（2）木板的长度；
（3）此过程中弹簧具有的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）从A到B由动能定理求的到达B点的速度，在B点根据牛顿第二定律求的作用力
（2）根据动量守恒求的达到的共同速度，根据动能定理求的木板长度；
（3）向左达到共同速度时，根据动能定理求的弹簧的弹性势能

解答 解：（1）从A到B由动能定理可得：
$mg{R}_{1}sin30°+{mgR}_{2}（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=3m/s
在B点由牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
代入数据解得：F_N=80N
由牛顿第三定律求的对轨道的压力为80N
（2）当物快滑到木板上后，最终两者速度为v′，有动量定理可得：mv=（m+M）v′
解得：v′=1.2m/s
整个过程由动能定理可得：
$-2μmgx=\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：x=1.35m
（3）在向左到达共同速度时根据动能定理可得：
-${E}_{P}-μmgx=\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：E_P=2.7J
答：（1）小物块经过B点时对圆弧轨道压力的大小为80N；
（2）木板的长度为1.35m；
（3）此过程中弹簧具有的最大弹性势能为2.7J

点评 本题主要考查了动能定理和动量定理的灵活运用，在第二问和第三问中，达到的共同速度是相同的，是解题的关键