Question

5．如图所示，在直角坐标系的第一、二象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在第三、四象限中存在着宽度未知的垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴是其上边界，下边界与x轴平行的虚线PQ，一质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），从y轴上（0，y₀）位置以初速度v₀沿x轴正方向射入匀强电场．
（1）求粒子第一次进入磁场时速度的大小；
（2）若要使从y轴上（0，y₀）位置以大小不同的初速度沿x轴正方向射入电场的粒子都能经磁场返回电场，求磁场的最小宽度．

Answer 1

分析 （1）通过电场力做功，由动能定理求解；
（2）求得粒子进入磁场的速度大小及方向，由左手定则及几何关系求得边界宽度与半径的关系；再由洛伦兹力作向心力即可求得半径，进而求得宽度．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，只有电场力作用功；
设粒子第一次进入磁场时速度大小为v，则由动能定理可得$qE{y}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，$v=\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
设v与x轴正方向成α角，则$cosα=\frac{{v}_{0}}{v}$，如图所示，
，
则粒子运动在磁场中纵向位移最大为$d=R-Rcosα=R×\frac{v-{v}_{0}}{v}=\frac{m}{Bq}（\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}-{v}_{0}）$=$\frac{m}{Bq}•\frac{2qE{y}_{0}}{m}\frac{1}{\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}+{v}_{0}}$；
当v₀=0时，d有最大值，即$d=\frac{m}{Bq}•\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{y}_{0}}{q}}$；
所以，磁场的最小宽度为$d=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{y}_{0}}{q}}$；
答：（1）粒子第一次进入磁场时速度的大小为$\sqrt{\frac{2qE{y}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）若要使从y轴上（0，y₀）位置以大小不同的初速度沿x轴正方向射入电场的粒子都能经磁场返回电场，则磁场的最小宽度为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE{y}_{0}}{q}}$．

点评 求解带电粒子在磁场中的运动问题时，应用几何关系之前要根据左手定则判断偏转方向才能得到正确的几何关系．