题目内容
16.如图,竖直环A半径为r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右两侧各有一挡板固定在地上,B不能左右运动,在环的最低点静放有一小球C,A、B、C的质量均为m,现给小球一水平向右的瞬时速度v,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力),小球在最低点的瞬时速度必须满足( )A. | 最小值$\sqrt{4gr}$,最大值$\sqrt{6gr}$ | B. | 最小值$\sqrt{5gr}$,最大值$\sqrt{6gr}$ | ||
C. | 最小值$\sqrt{5gr}$,最大值$\sqrt{7gr}$ | D. | 最小值$\sqrt{4gr}$,最大值$\sqrt{7gr}$ |
分析 小球在环内侧做圆周运动,通过最高点速度最小时,轨道对球的最小弹力为零,根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度;为了不会使环在竖直方向上跳起,小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg,根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度,再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围.
解答 解:在最高点,速度最小时有:mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$,
解得:v1=$\sqrt{gr}$.
从最高点到最低点的过程中,机械能守恒,设最低点的速度为v1′,根据机械能守恒定律,有:
2mgr+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv1′2
解得:v1′=$\sqrt{5gr}$.
要使不会使环在竖直方向上跳起,环对球的压力最大为:
F=2mg
从最高点到最低点的过程中,机械能守恒,设此时最低点的速度为v2′,
在最高点,速度最大时有:mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
根据机械能守恒定律有:2mgr+$\frac{1}{2}$mv22=$\frac{1}{2}$mv2′2
解得:v2′=$\sqrt{7gr}$.
所以为保证小球能通过环的最高点,且不会使木板离开地面,在最低点的初速度范围为:$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$.故C正确,ABD错误.
故选:C.
点评 本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律,关键理清在最高点的两个临界情况,求出在最高点的最大速度和最小速度.
练习册系列答案
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