如图.在真空中竖直平面内同时存在多层厚度为d.足够宽的正交复合场.匀强电场的电场强度大小为E.匀强磁场的磁感应强度大小为B.相邻复合场区域的间距也为d．将可看做质点.质量为m.带正电荷量为q的小球从静止开始下落.下落高度为d后进入复合场.已知mg=qE.重力加速度大小为g.不计粒子运动时的电磁辐射．(1)求小球在第1层复合场区域做圆周运动的轨道� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，在真空中竖直平面内同时存在多层厚度为d，足够宽的正交复合场，匀强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B，相邻复合场区域的间距也为d．将可看做质点、质量为m、带正电荷量为q的小球从静止开始下落，下落高度为d后进入复合场，已知mg=qE，重力加速度大小为g，不计粒子运动时的电磁辐射．
（1）求小球在第1层复合场区域做圆周运动的轨道半径r₁；
（2）求小球到达第2个复合场区域时速度方向与竖直方向夹角的正弦值；
（3）若空间存在有n层复合场，小球不能从复合场下边界穿出，求n的最小值．

分析（1）根据机械能守恒定律，结合洛伦兹力提供向心力，即可求解；
（2）根据运动的合成与分解，结合动能定理，及几何关系，即可求解；
（3）根据几何关系得r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d，同理r_n-1sinθ_n-1-r_n-2sinα_n-2=d，再结合动能定理，及洛伦兹力提供向心力，即可求解．

解答解：（1）小球进入第1层复合场前，只有重力做功，由机械能守恒定律得：
mgd=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…①
在复合场中小球受重力与电场力相等，洛仑兹力提供圆周运动向心力，有：

Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$…②
联立解得：r₁=$\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd}$…③
（2）设从第1层复合场穿出时速度与竖直方向夹角为θ₁，水平速度为v_1x；
由几何关系得：sinθ₁=$\frac{d}{{r}_{1}}$…④
v_1x=v₁sinθ₁…⑤
设从第2层复合场进入时速度与竖直方向夹角为α₂，
根据动能定理有：mg•3d-qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…⑥
小球在重力场中运动时，垂直于重力方向的速度分量不变

v₂sinα₂=v1sinθ₁…⑦
联立解得：sinα₂=$\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd}$…⑧
（3）设从第n层复合场进入时速度与竖直方向夹角为α_n，从第n层复合场穿出时速度与竖直方向夹角为θ_n，
由几何关系得：r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d…⑨
小球在重力场中运动时，垂直于重力方向的速度分量不变，则有：

v_nsinα_n=v_n-1 sinθ _n-1…⑩
联立⑨⑩得r_nsinθ_n-r_n-1sinθ_n-1=d
同理r_n-1sinθ_n-1-r_n-2sinα_n-2=d
联立解得 r_nsinθ_n=nd
根据动能定理有：mg（2n-1）d-qE（n-1）d=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$
在第n层复合场中小球受重力与电场力相等，洛仑兹力提供圆周运动向心力，有：
Bqv_n=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{{r}_{n}}$
若小球不能从复合场下边界穿出，则：
${θ}_{n}=\frac{π}{2}$，sinθ_n=1
联立解得：n=$\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}$
答：（1）小球在第1层复合场区域做圆周运动的轨道半径$\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd}$；
（2）小球到达第2个复合场区域时速度方向与竖直方向夹角的正弦值$\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd}$；
（3）若空间存在有n层复合场，小球不能从复合场下边界穿出，n的最小值$\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}$．