Question

15．如图所示，两个重力分别为G_A和G_B的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为α，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角θ．

Answer 1

分析 物体处于平衡状态时，所受的力对任意一点的合力矩为零，将AB两物体及连线看作一个整体，整体所受力对圆心O的合力矩也必定为零，根据力矩平衡以及三角形的正弦定理、余弦定理列式，联立方程即可求解．

解答 解：物体处于平衡状态时，所受的力对任意一点的合力矩为零，将AB两物体及连线看作一个整体，整体所受力对圆心O的合力矩也必定为零，且N₁和N₂的延长线过圆心O，由此可以推知：
G_A和G_B对圆心的力矩之和也为零，其大小关系相等，则有：
G_A•ACsinθ=G_B•BCsinθ，则G_A•AC=G_B•BC…①
因为∠AOB=α，且△AOB为等腰三角形，可以得出$∅=90°-\frac{α}{2}$，
设圆的半径为R，则AB=2Rsin$\frac{α}{2}$…②
由①②可得：AC=$\frac{{G}_{B}}{{G}_{A}+{G}_{B}}2Rsin\frac{α}{2}$，BC=$\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+{G}_{B}}2Rsin\frac{α}{2}$，
对△OBC由余弦定理得：OC=$\sqrt{（OB）^{2}+（BC）^{2}+2（OB）（BC）cos∅}$，OB=R，
整理得：$OC=\frac{R\sqrt{{{G}_{A}}^{2}+{{G}_{B}}^{2}+2{G}_{A}{G}_{B}cosα}}{{G}_{A}+{G}_{B}}$…③
对△OBC由正弦定理得：$\frac{OB}{sinθ}=\frac{OC}{sin∅}$，$sinθ=\frac{Rsin∅}{OC}$…④
将③代入④可以得出：sin$θ=\frac{cos\frac{α}{2}（{G}_{A}+{G}_{B}）}{\sqrt{{{G}_{A}}^{2}+{{G}_{B}}^{2}+2{G}_{A}{G}_{B}cosα}}$
可以得出$cosθ=\frac{sin\frac{α}{2}（{G}_{A}-{G}_{B}）}{\sqrt{{{G}_{A}}^{2}+{{G}_{B}}^{2}+2{G}_{A}{G}_{B}cosα}}$…⑤

由④⑤解得：tan$θ=\frac{（{G}_{A}+{G}_{B}）}{{G}_{A}-{G}_{B}}cot\frac{α}{2}$
得：$θ=arctan\frac{（{G}_{A}+{G}_{B}）}{{G}_{A}-{G}_{B}}cot\frac{α}{2}$
答：连线与竖直方向夹角θ为$arctan\frac{（{G}_{A}+{G}_{B}）}{{G}_{A}-{G}_{B}}cot\frac{α}{2}$．

点评 本题属于静力学平衡的竞赛题，对同学们数学功底的要求特别高，正弦定理、余弦定理在物体解题中的应用，难度较大，属于难题．