Question

17．如图1，一辆塑料玩具小汽车，底部安装了一个10匝的导电线圈，线圈和小车总质量m=0.5kg，线圈宽度l₁=0.1m，长度与车身长度相同l₂=0.25m，总电阻R=1.0Ω；某次试验中，小车在F=2.0N的水平向右恒定驱动力作用下由静止开始在水平路面上运动，当小车前端进入右边的匀强磁场区域ABCD时，恰好达到匀速直线运动状态，磁场方向竖直向下，磁感应强度B随时间t的变化情况如B-t图象（图2）所示，如图3，以小车进入磁场的时候做为计时的起点；磁场宽度d=1.0m，磁场宽度AB大于小车宽度，整个过程中小车所受阻力为其总重力的0.2倍；求：

（1）小车前端碰到磁场边界AB时线圈中的电流大小及小车的速度；
（2）从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程中，通过线圈中的电荷量；
（3）从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程中，线圈中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由受力平衡求得电流，再根据楞次定律求得速度；
（2）小车进入磁场过程，通过匀速运动求得运动时间，进而得到电荷量；在磁场中，磁感应强度变化的过程，先通过匀变速运动求得小车运动时间，进而通过磁通量的变化得到电动势、电流，从而求得电荷量；将两部分电荷量累加就是整个过程通过的电荷量；
（3）由焦耳定律分别求出进入磁场和在磁场中运动过程产生的焦耳热，将两部分焦耳热累加即可．

解答 解：（1）对小车匀速进入过程：在水平方向上，小车在阻力、驱动力、安培力三力平衡下作匀速直线运动，所以，F=0.2mg+10BIl₁；
所以，$I=\frac{F-0.2mg}{10B{l}_{1}}=\frac{2-0.2×0.5×10}{10×1×0.1}A=1A$；
又有$I=\frac{10B{l}_{1}v}{R}$，所以，$v=\frac{IR}{10B{l}_{1}}=\frac{1×1}{10×1×0.1}m/s=1m/s$；
（2）小车匀速进入磁场过程所需时间$t=\frac{{l}_{2}}{v}=0.25s$，通过线圈中的电荷量q₁=It=0.25C；
进入磁场到小车前端碰到磁场边界CD的过程中，小车不经过磁场边界，则线圈中感生电动势由于磁场增强产生，且线圈左右两边所受的安培力时刻等大反向，因此小车将在恒力F和阻力的作用下做匀加速直线运动，$a=\frac{F-0.2mg}{m}=\frac{2-0.2×0.5×10}{0.5}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$；
所以，小车在这个过程中的运动时间t₂有关系式：$d-{l}_{2}=v{t}_{2}+\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$，所以，t₂=0.5s；
在小车完全进去磁场到小车前端碰到磁场边界CD的过程中，线圈中的感应电动势${E}_{2}=\frac{10△B•{l}_{1}{l}_{2}}{△t}=10×\frac{1}{0.25}×0.1×0.25V=1V$；
所以，产生的电荷量${q}_{2}=\frac{{E}_{2}}{R}{t}_{2}=\frac{1}{1}×0.5C=0.5C$；
所以，从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程，通过线圈中的电荷量q=q₁+q₂=0.75C；
（3）小车进入磁场过程中产生的焦耳热${Q}_{1}={I}^{2}Rt={1}^{2}×1×0.25J=0.25J$；
小车完全进入磁场到前端碰到CD过程中产生的焦耳热${Q}_{2}=\frac{{{E}_{2}}^{2}}{R}{t}_{2}=\frac{{1}^{2}}{1}×0.5J=0.5J$；
所以总热量Q=Q₁+Q₂=0.75J；
答：（1）小车前端碰到磁场边界AB时线圈中的电流大小为1A，小车的速度大小为1m/s；
（2）从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程中，通过线圈中的电荷量为0.75C；
（3）从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程中，线圈中产生的焦耳热为0.75J．

点评 闭合电路在磁场中，只要磁通量变化，则会产生电动势和感应电流，一般地，通过边界用E=BLv，磁感应强度变化用$E=n\frac{△∅}{△t}$来计算．