Question

17．某游乐场中一种玩具车的运动情况可以简化为如下模型：如图所示，轨道ABCD位于竖直平面内，水平轨道AB与半圆弧轨道BC相切于B点；C与圆心O等高；最高点D处有一竖直弹性小挡板（如图中黑短线所示）；质量m=10kg的小车Q（可视为质点）静止在水平轨道上的点A；已知A点与B点相距L=40m（图中AB之间的虚线表示未画完整的水平轨道），竖直圆轨道的半径R=3m，圆弧光滑；小车在水平轨道AB间运动时受到的阻力恒为其重力的0.25倍．其它摩擦与空气阻力均忽略不计．（g取10m/s²）
（1）若小车在水平向右的恒力F的作用下由静止出发沿轨道AC运动，恰好能到达轨道的C点．求：恒力F的大小和此过程中小车速度最大时的位置．
（2）若小车用自带的电动机提供动力，电动机输出功率恒为P=50W，要使小车不脱离轨道，求发动机工作时间t需满足的条件（设经过所求的时间，小车还没到B点）．

Answer 1

分析 （1）从A到C的过程中有动能定理求的拉力，根据力的合成与分解即可求得速度最大的位置；
（2）小球不脱离轨道，小车在圆弧上到达的最高点在C点之下或小车能上升到最高点D，碰挡板后再原路返回，由动能定理和圆周运动即可求得

解答 解：（1）从A到C由动能定理可知F（L+R）-μmgL-mgR=0-0
$F=\frac{μmgL+mgR}{L+R}=\frac{1300}{43}N=2.3N$
当在运动方向上合力为零时速度最大，在圆弧上的E点，EO与竖直方向的夹角$tanθ=\frac{F}{mg}=\frac{2.3}{100}=\frac{23}{1000}$
（2）设μ=0.25
不脱离轨道情景一：小车在圆弧上到达的最高点在C点之下．
临界：AC过程列动能定理Pt₁-μmgL-mgR=0-0
得t₁≤26s
此后，再从C点返回，在BA段上能通过的距离为xmgR=μmgx
的x=4R=12m＜L
故不会从轨道左端滑出   
不脱离轨道情景二：小车能上升到最高点D，碰挡板后再原路返回．
要到最高点D，需满足$mg≤m\frac{v_D^2}{R}$
A到D过程列动能定理得$P{t_2}-μmgL-mg2R=\frac{1}{2}mv_D^2$
临界t₂≥35s
又因为返回后不能从左端A处掉下，工作时间t₃必须满足Pt₃≤2μmgL
得t₃≤40s
故：为了使得小车不脱离轨道，发动机工作时间必须满足t₁≤26s或者35s≤t₂≤40s．
答：（1）恒力F的大小为2.3N，此过程中小车速度最大时的位置为在圆弧上与竖直夹角的正切值为$\frac{23}{1000}$．
（2）若小车用自带的电动机提供动力，电动机输出功率恒为P=50W，要使小车不脱离轨道，发动机工作时间t需满足的条件t₁≤26s或者35s≤t₂≤40s．

点评 本题主要考查了动能定理，再低二问中，抓住沿轨道运动：不能到达最高点，在C点下方速度减到零，或者到达最高点做圆周运动，再结合动能定理即可求得