Question

11．一般来说，正常人从距地面1.5m高处跳下，落地时速度较小，经过腿部的缓冲，这个速度对人是安全的，称为安全着地速度．如果人从高空跳下，必须使用降落伞才能安全着陆，其原因是，张开的降落伞受到空气对伞向上的阻力作用．经过大量实验和理论研究表明，空气对降落伞的阻力f与空气密度ρ、降落伞的迎风面积S、降落伞相对空气速度v、阻力系数c有关（由伞的形状、结构、材料等决定），其表达式是f=$\frac{1}{2}$cρSv²．根据以上信息，解决下列问题．（取g=10m/s²）
（1）在忽略空气阻力的情况下，计算人从1.5m高处跳下着地时的速度大小（计算时人可视为质点）（结果可用根式表示）
（2）在某次高塔跳伞训练中，运动员使用的是有排气孔的降落伞，其阻力系数c=0.90，空气密度取ρ=1.25kg/m³．降落伞、运动员总质量m=80kg，张开降落伞后达到匀速下降时，要求人能安全着地，降落伞的迎风面积S至少是多大？
（3）跳伞运动员和降落伞的总质量m=80kg，从跳伞塔上跳下，在下落过程中，经历了张开降落伞前自由下落、张开降落伞后减速下落和匀速下落直至落地三个阶段．如图是通过固定在跳伞运动员身上的速度传感器绘制出的从张开降落伞开始做减速运动至达到匀速运动时的v-t图象．根据图象估算运动员做减速运动的过程中，空气阻力对降落伞做的功．（（2）（3）均保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （1）在忽略空气阻力的情况下，人做自由落体运动，由运动学公式求解人着地时的速度大小；
（2）由（1）求出人安全着陆的速度大小，张开降落伞后达到匀速下降时，空气阻力大小等于运动员的重力，根据平衡条件和f=$\frac{1}{2}$cρSv²结合可求出降落伞的迎风面积S；
（3）由v-t图读出，降落伞张开时运动员的速度大小和运动员收尾速度大小，由v-t图线和时间轴所围面积求得在0～3s时间内运动员下落高度，由动能定理求解空气阻力对降落伞做的功．

解答 解：（1）设人从1.5m高处跳下着地时的安全速度大小为v₀，则
  v₀²=2gh
得 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.5}$=$\sqrt{30}$m/s≈5.5m/s      
（2）由（1）可知人安全着陆的速度大小为$\sqrt{30}$m/s，跳伞运动员在空中匀速下降时空气阻力大小等于运动员的重力，则  
  mg=f=$\frac{1}{2}$cρSv²  
解得，降落伞的迎风面积S至少是 S=$\frac{2mg}{cρ{v}^{2}}$=$\frac{2×80×10}{0.9×1.25×30}$m²≈47.4m²
（3）设空气阻力对降落伞做功为Wf，由v-t图可知，降落伞张开时运动员的速度大小v₁=20m/s，运动员收尾速度即匀速直线运动的速度v₂=5.0m/s，设在这段时间内运动员下落的高度为h，根据动能定理得
   mgh+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$      
解得 W_f=-mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$      
由v-t图线和时间轴所围面积可知，在0～3s时间内运动员下落高度h=25m，代入数据解得：W=-3.5×10⁴J
答：
（1）人从1.5m高处跳下着地时的速度大小是5.5m/s；
（2）要求人能安全着地，降落伞的迎风面积S至少是47.4m²；
（3）运动员做减速运动的过程中，空气阻力对降落伞做的功是-3.5×10⁴J．

点评 本题首先要有耐心读题，获取有效信息，其次，通过分析运动过程，把握每个过程遵守的规律，实质是运动学公式和动能定理的综合应用．