Question

18．质量为M=6kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量为6kg，停在B的左端．质量为1kg的小球用长为0.8m的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与A发生碰撞后反弹，反弹所能达到的最大高度为0.2m，物块与小球可视为质点，不计空气阻力．已知A、B间的动摩擦因数μ=0.1，
求：（1）碰撞过程中损失的机械能；
（2）为使A不滑离木板，木板至少多长．

Answer 1

分析 （1）球和A碰撞过程中系统动量守恒，先求得小球在最低点时的速度，再根据反弹高度求得碰撞后小球的速度，根据动量守恒求得A获得的速度从而得到损失的机械能；
（2）AB作用过程中水平方向动量守恒，根据功能定理求得B的最小长度．

解答 解：（1）小球下摆过程中机械能守恒可得$mgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可得小球摆到最低点时的速度${v_1}=\sqrt{2gL}=4$m/s
小球反弹后上升过程中机械能守恒，可得：$mgh=\frac{1}{2}mv_1^{'2}$，
解得小球反弹速度$v_1^'=\sqrt{2gh}=2$m/s
球与A碰撞过程中，系统动量守恒，取小球向右为正方向：
mv₁=-mv₁′+m_Av_A
解得v_A=$\frac{m{v}_{1}+m{v}_{1}′}{{m}_{A}}=\frac{1×4+1×2}{6}m/s=1m/s$
所以碰撞过程中损失的机械能：
$△{E_K}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_1^{'2}-\frac{1}{2}{m_A}v_A^2$=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}-\frac{1}{2}×1×{2}^{2}+\frac{1}{2}×6×{1}^{2}J$=3J
（2）物块A与木板B相互作用过程中动量守恒，取水平向右为正方向有：
m_Av_A=（m_A+M）v_共
所以v_共=$\frac{{m}_{A}{v}_{A}}{（{m}_{A}+M）}=\frac{6×1}{6+6}m/s=0.5m/s$
令B的长度至少为x，则根据功能关系有：
$μ{m}_{A}gx=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{A}+M）{v}_{共}^{2}$
得x=$\frac{\frac{1}{2}×6×{1}^{2}-\frac{1}{2}×（6+6）×0．{5}^{2}}{0.1×6×10}m$=0.25m 
答：（1）碰撞过程中损失的机械能为3J；
（2）为使A不滑离木板，木板至少为0.25m．

点评 本题关键是根据动量守恒定律、动量定理、能量守恒列式求解，应用动量守恒解题时要注意选取合适的系统作为研究对象，判断是否符合动量守恒的条件，注意选取正方向．