Question

6．如图（1），在匀强磁场中有两根倾斜、长S=40m的平行金属导轨，导轨间距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=30⁰，匀强磁场的磁感应强度B=0.3T，垂直导轨平面斜向上．在一个平行于导轨的变力F作用下（F从零开始增加），一根质量m=0.1kg的导体棒从导轨的顶端由静止开始沿导轨匀加速下滑，下滑20m后撤去变力F，导体棒一直下滑至导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，与导轨的动摩擦因数μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，接在两导轨顶端的电阻R=3Ω，其他部分电阻均不计，重力加速度g为10m/s²．求：

（1）导体棒下滑20m时的速度大小；
（2）导体棒下滑20m内流过电阻R的电量；
（3）在图（2）中画出导体棒下滑20m内外力F随位移S变化的图象（在坐标轴上标出关键点），并求出导体棒下滑20m时外力F的瞬时功率；
（4）撤去外力F后导体棒沿轨道下滑，能否最终达到匀速？请通过合理的计算、推导等给出理由和结论．

Answer 1

分析 （1）导体棒由静止开始沿导轨匀加速下滑，加速度不变，由初始状态，求出加速度，再由运动学规律求出速度．
（2）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出电流的平均值，再由电流平均值乘以时间得到电量．
（3）根据安培力公式得到安培力的表达式，由于外力与安培力相等，得到外力表达式，即可作图．
（4）根据撤去外力后导体棒能通过的位移与导轨剩下的距离20m比较，作出判断．

解答 解：（1）导体棒的初速度v₀=0，安培力 F_安=0，外力F=0，由牛顿第二定律得
 mgsinθ-μmgcosθ=ma
则得加速度为 a=gsinθ-μgcosθ=$\frac{0．{3}^{2}×{1}^{2}×1{0}^{2}}{3}$=2.5m/s²；
故导体棒下滑20m时的速度大小 v=$\sqrt{2a{s}_{1}}$=$\sqrt{2×2.5×20}$=10m/s；
（2）导体棒下滑20m内流过电阻R的电量
  q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{R}$△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BL{s}_{1}}{R}$=$\frac{0.3×1×20}{3}$C=2C
（3）根据牛顿第二定律可知 外力F=F_安=B$\frac{BLv}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2as}}{R}$=$\frac{0．{3}^{2}×{1}^{2}×\sqrt{2×2.5×s}}{3}$=$\frac{3\sqrt{5s}}{100}$ N
作出外力F随位移S变化的图象如图．
导体棒下滑20m时外力F的瞬时功率 P=Fv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$=3W
（4）不能．因为：
刚撤力F时，mgsinθ-μmgcosθ-B$\frac{BLv}{R}$L=ma′，a′=-0.5m/s²，导体棒做加速度不断减小的减速下滑；
若达到匀速：mgsinθ-μmgcosθ-B$\frac{BL{v}_{匀}}{R}$L=0，得v_匀=$\frac{25}{3}$m/s；
若以-0.5m/s²加速度一直匀减速下滑，用时$\frac{10}{3}$s达到$\frac{25}{3}$m/s，v-t图象围成的“面积”为$\frac{275}{9}$m，大于导轨剩下的距离20m（实际下滑过程加速度绝对值逐渐减小，位移大于$\frac{275}{9}$m），所以不能达到匀速．
答：
（1）导体棒下滑20m时的速度大小为10m/s；
（2）导体棒下滑20m内流过电阻R的电量是2C；
（3）作出外力F随位移S变化的图象如图．导体棒下滑20m时外力F的瞬时功率为3W．
（4）撤去外力F后导体棒沿轨道下滑，最终不能达到匀速．

点评 本题是电磁感应中的综合题，关键要正确分析导体棒的情况，综合运用电磁学知识和力学知识进行解答．对于电磁感应中电量问题，也可用I-t图象围成的面积求．