Question

14．如图所示，一根长0.1m的细线，一端系着一个质量为0.18kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上作匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间线的拉力比开始时大40N，求：
（1）线断开前的瞬间，线的拉力大小；
（2）线断开的瞬间，小球运动的线速度；
（3）如果小球离开桌面时，速度方向与桌边的夹角为60°，桌面高出地面0.8m，求小球飞出后的落地点距桌边的水平距离．

Answer 1

分析 （1）根据拉力提供向心力，结合牛顿第二定律，求出线断开前的瞬间，线的拉力大小；
（2）根据拉力的大小，结合牛顿第二定律求出线速度的大小．
（3）根据平抛运动的规律求出水平位移，结合几何关系求出抛出点到桌边的水平距离．

解答 解：（1）线的拉力等于向心力，设开始时角速度为ω₀，向心力是F₀，线断开的瞬间，角速度为ω，线的拉力是F．
根据牛到第二定律得，${F_0}=m{ω_0}^2R$    ①
F=mω²R     ②
由①②得$\frac{F}{F_0}=\frac{ω^2}{ω_0^2}=\frac{9}{1}$    ③
又因为F=F₀+40N    ④
由③④得F=45N      ⑤
（2）设线断开时速度为V．
由F=$m\frac{{V}^{2}}{R}$得，V=$\sqrt{\frac{FR}{m}}=\sqrt{\frac{45×0.1}{0.18}}m/s=5m/s$
（3）设桌面高度为h，落地点与飞出桌面点的水平距离为s．$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.4s$
s=vt=5×0.4m=2m
则抛出点到桌边的水平距离为l=ssin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1.73m．
答：（1）线断开前的瞬间，线的拉力大小为45N；
（2）小球运动的线速度为5m/s；
（3）小球飞出后的落地点距桌边的水平距离为1.73m．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．