Question

6．美国阿波罗号登月艇对月球进行探测，测得下列数据：月球表面重力加速度约为地球重力加速度的六分之一；登月艇贴近月球表面飞行时其周期约为90分钟
（1）估算月球的半径R，（结果保留两位有效数字）
（2）实验测得人造地球卫星近地飞行周期也约为90分钟，这一实验结论说明月球的哪一种属性与地球相近？简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）登月艇贴近月球表面飞行，万有引力提供向心力，结合已知条件${g}_{月}^{\;}=\frac{1}{6}{g}_{地}^{\;}$，即可求出月球的半径
（2）推导出星球的近地卫星的密度表达式，可知周期相同则密度相同

解答 解：（1）登月艇贴近月球表面飞行，万有引力提供向心力，则有：
$m{g}_{月}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
根据题意${g}_{月}^{\;}=\frac{1}{6}{g}_{地}^{\;}$
所以有：$R=\frac{g{T}_{\;}^{2}}{24{π}_{\;}^{2}}=\frac{10×（90×60）_{\;}^{2}}{24×3.1{4}_{\;}^{2}}≈1.2×1{0}_{\;}^{6}m$
（2）在星球表面飞行的卫星，轨道半径为R，万有引力提供向心力做匀速圆周运动有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
星球密度$ρ=\frac{M}{V}$，又$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
所以$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
人造地球卫星近地飞行的周期与绕月球表面飞行的登月艇的周期相近，所以月球的密度与地球的密度相近
答：（1）估算月球的半径R为$1.2×1{0}_{\;}^{6}m$，（结果保留两位有效数字）
（2）实验测得人造地球卫星近地飞行周期也约为90分钟，根据近地卫星的密度公式$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，这一实验结论说明月球的密度与地球相近，

点评 本题要掌握天体运动中的两个问题：1、万有引力提供向心力，2、星球表面的物体受到的重力等于万有引力．理解并掌握这两个关系可以解决天体运动的所有问题．