Question

8．如图甲所示，光滑的绝缘细杆水平放置，有孔小球套在杆上，整个装置固定于某一电场中．以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系．沿杆方向电场强度E随位置x的分布如图乙所示，场强为正表示方向水平向右，场强为负表示方向水平向左．图乙中曲线在0≤x≤0.20m和x≥0.4m范围可看作直线．小球质量m=0.02kg，带电量q=+1×10^-6C．若小球在x₂处获得一个v=0.4m/s的向右初速度，最远可以运动到x₄处．
（1）求杆上x₄到x₈两点间的电势差大小U；
（2）若小球在x₆处由静止释放后，开始向左运动，求：
a．加速运动过程中的最大加速度a_m；
b．向左运动的最大距离s_m；
（3）若已知小球在x₂处以初速度v₀向左减速运动，速度减为零后又返回x₂处，所用总时间为t₀，求小球在x₂处以初速度4v₀向左运动，再返回到x₂处所用的时间．（小球运动过程中始终未脱离杆）你可能不会计算，但小球向左运动过程中受力特点你并不陌生，请展开联想，通过类比分析得出结果．

Answer 1

分析 （1）根据U=Ed即可解；
（2）a、场强最大处电场力最大，加速度最大，根据牛顿第二定律即可求解最大加速度；
b、先由动能定理求出${x}_{2}^{\;}$与${x}_{4}^{\;}$之间的电势差，再根据动能定理求出向左运动的最远处距${x}_{2}^{\;}$处的距离为x′，即可求出向左运动的最大距离；
（3）分析小球的受力及运动符合简谐运动的特点，运用简谐运动的规律求出时间；

解答 解：（1）${x}_{4}^{\;}$与${x}_{8}^{\;}$之间为匀强电场的电场强度为：$E=4×1{0}_{\;}^{3}V/m$
U=Ed
得：U=1600V
（2）a、加速运动过程中，经过${x}_{3}^{\;}$处场强最大，为：
${F}_{m}^{\;}={E}_{m}^{\;}q$
由牛顿第二定律有：${F}_{m}^{\;}=m{a}_{m}^{\;}$
得：${a}_{m}^{\;}=0.6$$m/{s}_{\;}^{2}$
b、设${x}_{2}^{\;}$与${x}_{4}^{\;}$之间的电势差为${U}_{2}^{\;}$，由动能定理有：
$-q{U}_{2}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
得：${U}_{2}^{\;}=1.6×1{0}_{\;}^{3}V$
设${x}_{4}^{\;}$与${x}_{6}^{\;}$之间的电势差为${U}_{1}^{\;}$：${U}_{1}^{\;}=0.8×1{0}_{\;}^{3}V$
设向左运动的最远处距${x}_{2}^{\;}$处的距离为x′，电场强度大小为${E}_{x′}^{\;}$
带电小球由位置${x}_{6}^{\;}$处到最远处的过程：
根据动能定理：$q{U}_{1}^{\;}+q{U}_{2}^{\;}-q\frac{1}{2}{E}_{x′}^{\;}x′=0$
$\frac{E}{x′}=\frac{3.75×1{0}_{\;}^{4}}{0.05}$
得：x′=0.08m=8cm
所以${S}_{m}^{\;}=（0.6-0.2）+x′=0.48m$
（3）如图：

设距${x}_{2}^{\;}$处左侧距离为x处的电场强度大小为${E}_{x}^{\;}$，小球在距${x}_{2}^{\;}$处左侧距离为x处所受电场力大小为F：$F={E}_{x}^{\;}q$
由图可知：${E}_{x}^{\;}=Kx$（K为常量）
所以：F=qKx
小球在${x}_{2}^{\;}$处左侧所受电场力方向总指向${x}_{2}^{\;}$（向右）
小球在${x}_{2}^{\;}$处左侧相对于${x}_{2}^{\;}$处的位移总背离${x}_{2}^{\;}$（向左）
综上可知：电场力F的大小与x成正比，方向与x方向相反．小球向左的运动是简谐运动的一部分，振动周期与振幅无关，小球从${x}_{2}^{\;}$处向左运动再返回的时间是简谐运动的半个周，因此以4v为初速度的时间仍为${t}_{0}^{\;}$．
答：（1）求杆上x₄到x₈两点间的电势差大小U为1600V；
（2）a．加速运动过程中的最大加速度${a}_{m}^{\;}$为0.6$m/{s}_{\;}^{2}$；
b．向左运动的最大距离${s}_{m}^{\;}$为0.48m；
（3）小球在x₂处以初速度4v₀向左运动，再返回到x₂处所用的时间仍为${t}_{0}^{\;}$

点评 解答此题的关键是从图象中获得信息，分析清楚小球的受力及运动特点．正确运用牛顿第二定律及动能定理求解，尤其是运用动能定理时要注意正功和负功．