题目内容

4．如图1所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等均为m，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等且动摩擦系数为μ．开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO1轴的距离为2L，物块A到OO1轴的距离为L，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，求：
（1）当B的摩擦力达到最大值的时候，角速度是多少？
（2）当A的摩擦力为0的是时候，角速度是多少？
（3）当AB即将滑动的时候，角速度是多少？
（4）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在图2坐标图中画出A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象．
（5）当AB即将滑动时，若把绳剪断，请判断A和B是否还能与杆保持相对静止．

分析 （1）先分析AB两物体谁先能达到最大静摩擦力，并以此物体为研究对象，进行受力分析，结合牛顿第二定律即可得知此时的角速度
（2）对AB分别利用牛顿第二定律列式，联立可得知当A的摩擦力为0的是时候的角速度
（3）当AB即将滑动的时候，分别对AB进行受力分析，AB分别利用牛顿第二定律列式，联立可得知此时的角速度
（4）结合前三问的解答，可画出A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象
（5）结合（3）的解答，先计算出此时AB两物体的向心力，当绳子剪断后，结合此时杆对AB能提供的最大静摩擦，可得知A和B是否还能与杆保持相对静止

解答 解：（1）开始时，绳子的拉力为零，由于B的转动半径大于A的转动半径，故B需要的向心力大于A（AB两物体质量均为m），故B先达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律可知：
μmg=mω12•2L，
解得：ω1=$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
（2）根据牛顿第二定律，
对A有：T=mω22L
对B有：T+μmg=mω22•2L
联立解得：ω2=$\sqrt{\frac{μg}{L}}$
（3）当角速度增大时，AB即将滑动时（B沿半径向外滑动，A沿半径向里滑动），此时A受到的摩擦力为μmg，方向沿半径向外，则对A有：
T′-μmg=m${ω}_{3}^{2}$L
此时B受到的摩擦力为μmg，方向沿半径向里，对B有：
T′+μmg=m${ω}_{3}^{2}$•2L
联立以上两式得：ω3=$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
T′=3μmg
（4）通过以上计算，可知当角速度为$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$时，B达到了就大静摩擦力，为μmg，方向指向转轴，此时A的摩擦力为$\frac{μmg}{2}$，方向指向转轴；
当角速度为$\sqrt{\frac{μg}{L}}$时，B的静摩擦力为μmg，方向指向转轴，此时A的摩擦力为0；
当角速度为$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$时，B的静摩擦力为μmg，方向指向转轴，此时A的摩擦力大小为μmg，方向背向转轴；
A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象如右图所示
（5）有第（3）可知，当AB都将要滑动时，绳子的拉力为T′=3μmg
此时A的向心力为：fA向=T′-μmg=2μmg
此时B的向心力为：fB向=T′+μmg=4μmg
若把绳子剪断，杆对AB能产生的最大摩擦力为μmg，所以AB均不能与杆保持静止．
答：（1）当B的摩擦力达到最大值的时候，角速度是$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
（2）当A的摩擦力为0的是时候，角速度是$\sqrt{\frac{μg}{L}}$
（3）当AB即将滑动的时候，角速度是$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
（4）装置可以以不同的角速度匀速转动，A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象如图所示．
（5）当AB即将滑动时，若把绳剪断，A和B均不能与杆保持相对静止

点评 向心力是从力的作用效果来命名的，因为它产生指向圆心的加速度，所以称它为向心力．它不是具有确定性质的某种类型的力．相反，任何性质的力都可以作为向心力．实际上它可是某种性质的一个力，或某个力的分力，还可以是几个不同性质的力沿着半径指向圆心的合外力．
同时要熟练的掌握向心力的表达式：F向=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mω2R=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=4mπ2f2R=mω2v=4π2mn2R
其中：v为线速度，单位m/s，ω为角速度，单位rad/s，m为物体质量，单位kg，r为物体的运动半径，单位m，T为圆周运动周期，单位s，f为圆周运动频率，单位Hz，n为圆周运动转速（即频率），单位r/s．

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