Question

2．如图所示，竖直放置的平行导轨由四部分组成，其中只有水平部分是导体材料做的，其余部分均为绝缘材料，整个轨道处在竖直向上的匀强磁场中（磁场未画出）．ab、a'b'是四分之一光滑圆弧形轨道，下端切线水平；bc、b'c'是抛物线轨道，cd、c'd'是倾斜轨道，de、d'e'是光滑水平轨道（足够长）．倾斜轨道与水平轨道平滑连接．金属棒过dd'前后的速度大小不变，金属杆M₁N₁从静止开始沿轨道顶端aa'下滑，与抛物线轨道恰好无相互作用力并且恰好沿着倾斜轨道匀速滑下，之后进入水平轨道（0水平轨道上原来放有一根金属杆M₂N₂），在运动过程中两杆始终与导轨垂直并接触良好．已知圆弧半径为R=0.2m，M₁N₁的质量为m=1kg，M₂N₂的质量为2m，cd、c'd'倾斜轨道倾角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），cd、c'd'倾斜轨道长度s=0.5m，取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）金属杆M₁N₁在bc、b'c'抛物线轨道上运动的时间t₁；
（2）金属棒M₁N₁和M₂N₂的最终速度是多大？
（3）整个过程中损失的机械能△E是多少？

Answer 1

分析 （1）棒M₁N₁在ab之间运动的过程中机械能守恒，由此求出到达b的速度；然后将运动分解即可求出；
（2）将c点的速度分解，即可求出棒M₁N₁到达c的速度；由动量守恒即可求出棒M₁N₁最终的速度；
（3）整个过程中损失的机械能为摩擦产生的内能以及电磁感应的过程中产生的内能，由此即可求出．

解答 解：（1）棒M₁N₁在ab之间运动的过程中机械能守恒，得：$mgR=\frac{1}{2}mv_0^2$   ①，
解得${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}=2m/s$   ②，
设棒M₁N₁平抛运动的时间为t₁，则竖直方向：v_y=gt₁ ③
根据题意，在c点：v_y=v₀tanθ    ④
由②③④，代入数据得：t₁=$\frac{4}{15}$s  ⑤
（2）棒M₁N₁到达c的速度：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{10}{3}m/s$  ⑥，
金属棒M₁N₁进入水平轨道后，由于轨道是金属导轨，两个金属棒与轨道组成闭合回路，在电路中产生感应电动势，金属棒M₁N₁和M₂N₂的ab系统水平方向的动量守恒，设向右为正方向，有：
mv₁=（m+2m）v₂ ⑦，
由②⑥⑦解得：${v}_{2}=\frac{1}{3}{v}_{1}=\frac{10}{9}m/s$
（3）金属棒M₁N₁在斜面上运动的过程中，摩擦生热：Q₁=μmgs₀cosθ   ⑧
由于做匀速直线运动，则：μmgcosθ=mgsinθ  ⑨
联立得Q₁=mgs₀sinθ
代入数据得：Q₁=4.0J
金属棒M₁N₁和M₂N₂相互作用的过程中产生的电热：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}（m+2m）{v}_{2}^{2}$，
代入数据得：Q₂=3.7J
所以：E=Q₁+Q₂=4.0J+3.7J=7.7J
答：（1）金属杆M₁N₁在bc、b'c'抛物线轨道上运动的时间是$\frac{4}{15}$s；
（2）金属棒M₁N₁和M₂N₂的最终速度是$\frac{10}{9}$m/s；
（3）整个过程中损失的机械能△E是7.7J．

点评 该题属于力、电综合，解答该题的思路要注意考虑两点：一是从力的角度，可以根据平抛运动、动量守恒定律，或根据平衡条件、牛顿第二定律列出方程；二是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．