Question

3．如图所示，在以O₁点为圆心、r=0.20m为半径的圆形区域内，存在着方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=1.0×10^-3的匀强磁场（图中未画出）．圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端与一个足够大的荧光屏MN相切于x轴上的A点，粒子源中，有带正电的粒子（比荷为$\frac{q}{m}$=1.0×10¹⁰C/kg）不断地由静止进入电压U=800V的加速电场．经加速后，沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场区域，粒子重力不计．
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径、速度偏离原来方向的夹角的正切值．
（2）以过坐标原点O并垂直于纸面的直线为轴，将该圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求在此过程中打在荧光屏MN上的粒子到A点的最远距离．

Answer 1

分析 （1）粒子从静止开始进入加速电场，由动能定理求出速度，在圆形磁场中洛仑兹力提供向心力，从而能求出粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径．
（2）以过坐标原点O并垂直于纸面的直线为轴，将该圆形磁场逆时针缓慢旋转90°时，而粒子的运动轨迹不变，所以只要以O为圆心，OA的长为半径画弧，轨迹与该弧的交点就是打在屏上最远的出射点，由几何关系可以求出最远点离O点的距离．

解答 解：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理得$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
进入磁场后做圆周运动，洛伦兹力提供向心力$qvB=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
联立解得$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$=0.4m
设速度偏离原来方向的夹角为θ，由几何关系得tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{2}$
故速度偏离原来方向的夹角正切值tanθ=$\frac{4}{3}$
（2）以O点为圆心，OA为半径做圆弧AC交y轴于C点；以C点为圆心，CO为半径作出粒子运动的轨迹交弧AC于D点．
粒子在磁场中运动的最大圆弧弦长OD=2r=0.4 m，
由几何关系可知sin$\frac{α}{2}=\frac{r}{R}$
最远距离  y_m=（2r-Rtan α）tan 2α（
代入数据可得${y}_{m}=\frac{2（\sqrt{3}-1）}{5}m$=0.29m
答：（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径、速度偏离原来方向的夹角的正切值为$\frac{4}{3}$．
（2）以过坐标原点O并垂直于纸面的直线为轴，将该圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，在此过程中打在荧光屏MN上的粒子到A点的最远距离为0.29m．

点评 本题的靓点是第二问，当圆形磁场区域转动90°时，粒子还是在该磁场中运动，轨迹不变，只是轨迹的长短不一样，显然只有轨迹对应的弦长为直径时，偏转角最大，打在屏上的点离A最远．画出轨迹，由几何关系就能求出离A点最远的距离．