Question

7．如图所示，质量M=1kg的木板静置于倾角为θ=37°的足够长的固定斜面上某位置，质量m=1kg的可视为质点的小物块以初速度v₀=5m/s从木板的下端冲上木板，同时在木板上端施加一个沿斜面向上的外力F=14N，使木板从静止开始运动，当小物块与木板共速时，撤去该外力，最终小物块从木板的下端滑出．已知小物块与木板之间的动摩擦因素为μ₁=0.25，木板与斜面之间的动摩擦因数为μ₂=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）物块和木板共速前，物块和木板的加速度各为多少？
（2）木板的长度至少为多少？

Answer 1

分析 （1）小物块冲上木块后，分别对木块和木板进行受力分析，沿斜面方向上利用牛顿运动定律列式，即可求得木块m和木板M的加速度．
（2）小物块刚冲上木板后，木块做匀加速直线运动，木板做匀加速直线运动，先求得速度相同时所需要的时间，分别求出两者的位移，位移之差的大小即为木板的长度．

解答 解：（1）小物块冲上木板后，小物块与木板之间的滑动摩擦力为：f=μ₁mgcosθ=0.25×1×10×0.8=2N，
对小物块m有：ma₁=f+mgsinθ
联立并代入数据解得：a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
对木板：Ma₂=F-Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ+f
代入数据得：a₂=2m/s²，方向沿斜面向上
（2）当速度相等时，v₀-a₁t₁=v₁
0+a₂t₁=v₁
解得：t₁=0.5s
v₁=1m/s
所以，x_m1=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$，${x}_{M1}=\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$，
速度相等前的相对位移为：△s=x_m1-x_M1=$\frac{{v}_{0}t}{2}$=1.25m
撤去拉力F后，物块相对于仍然木板向上运动，所以加速度仍然是a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
而木板：Mgsinθ+μ₂（M+m）gcosθ-f=Ma₃
代入数据得：a₃=12m/s²
方向沿斜面向下，做减速运动
当木板速度等于0后，由于Mgsinθ+μ₁mgcosθ＜μ₂（M+m）gcosθ，所以小物块在木板上向上滑动时，木板静止不动．
木板停止需要的时间：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{1}{12}s$，
小物块的速度减小到0的时间：${t}_{3}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{8}s$，
此过程中小物块的位移：${x}_{m2}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{1}^{2}}{2×8}$=$\frac{1}{16}m$，
木板的位移：${x}_{M2}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{{1}^{2}}{2×12}=\frac{1}{24}m$，
相对位移：△s′=x_m2-x_M2=$\frac{1}{16}-\frac{1}{24}m$=$\frac{1}{48}m$，
所以木板的长度最小为：$L=△s+△s′=1.25+\frac{1}{48}m$=$\frac{61}{48}$m．
答：（1）物块和木板共速前，物块和木板的加速度分别是8m/s²，方向沿斜面向下和2m/s²，方向沿斜面向上；
（2）木板的长度至少为$\frac{61}{48}$m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清物块和木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．