Question

12．如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个用相同材料、相同粗细的导线绕制的单匝闭合正方形线圈1和2，其边长L₁=2L₂，在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再逐渐完全进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈1、2落地时的速度大小分别为v₁、v₂，在磁场中运动时产生的热量分别为Q₁、Q₂，通过线圈截面的电荷量分别为q₁、q₂，不计空气阻力，则（　　）

• A． v₁＜v₂，Q₁＞Q₂，q₁＞q₂
• B． v₁=v₂，Q₁=Q₂，q₁=q₂
• C． v₁＜v₂，Q₁＞Q₂，q₁=q₂
• D． v₁=v₂，Q₁＜Q₂，q₁＜q₂

Answer 1

分析 线圈进入磁场之前做自由落体运动，因下落高度相等，可知两线圈会以同样的速度进入磁场，由法拉第电磁感应定律可求出进入磁场边界时的感应电动势，从而表示出受到磁场的安培力．由电阻定律表示出两线圈的电阻，结合牛顿第二定律表示出加速度，可分析出加速度与线圈的粗细无关，从而判断出两线圈进入时运动是同步的，直到线圈2完全进入磁场后，线圈做匀加速运动，可得出落地速度的大小关系．由能量的转化与守恒可知，损失的机械能（转化为了内能）与线圈的质量有关，从而判断出产生的热量大．由q=$\frac{△Φ}{R}$分析电荷量的大小．

解答 解：线圈从同一高度下落，到达磁场边界时具有相同的速度v，切割磁感线产生感应电流，受到磁场的安培力大小为：
 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
由电阻定律有：R=ρ$\frac{4L}{S}$，（ρ为材料的电阻率，L为线圈的边长，S为导线的横截面积），线圈的质量为 m=ρ₀S•4L，（ρ₀为材料的密度）．
当线圈的下边刚进入磁场时其加速度为：a=$\frac{mg-F}{m}$=g-$\frac{F}{m}$
联立得，加速度为：a=g-$\frac{{B}^{2}v}{16ρ{ρ}_{0}}$
则知，线圈1和2进入磁场的过程先同步运动，由于当线圈2刚好全部进入磁场中时，线圈1由于边长较长还没有全部进入磁场，线圈2完全进入磁场后做加速度为g的匀加速运动，而线圈1仍先做加速度小于g的变加速运动，完全进入磁场后再做加速度为g的匀加速运动，两线圈匀加速运动的位移相同，所以落地速度关系为 v₁＜v₂．
由能量守恒可得：Q=mg（h+H）-$\frac{1}{2}$mv²（H是磁场区域的高度），因为m₁＞m₂，v₁＜v₂，所以可得 Q₁＞Q₂．
根据q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{B{L}^{2}}{ρ\frac{4L}{S}}$∝L知，q₁＞q₂．
故选：A．

点评 本题要注意分析物体的运动状态及能量变化情况，关键点在于分析线圈进入磁场的过程，由牛顿第二定律得到加速度关系，将电阻和质量细化，列式分析物体的运动情况关系．