Question

2．如图所示，光滑斜面倾角为30°，与粗糙的水平面AB平滑相接，水平轨道右侧有一个竖直固定半圆轨道BCD（C为BD的中点），与水平面相切于B点，水平面B点放置一个质量为2m的物块2，现有质量为m的物块1从斜面的P点由静止释放，下滑到斜面底端A点时的速度为7m/s物块1与物块2正碰后以1m/s速度反弹，设碰撞时间极短，已知物块1与水平面AB间的动摩擦因数为μ=0.4，AB的长度l=3m，g=10m/s²，求：

（1）物块1由静止释放下滑到斜面底端所用的时间；
（2）物块1与物块2碰撞后，物块2速度的大小；
（3）若要使物块2沿半圆轨道运动时不脱离轨道，半圆轨道半径取值条件．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块1在斜面上运动的加速度，结合速度时间公式求出在斜面上的运动时间．
（2）根据动能定理求出物块1与物块2碰前的速度，对物块1、2组成的系统运用动量守恒，求出物块1与物块2碰撞后，物块2速度的大小．
（3）滑块2在圆周运动上运动时不脱离圆周，有两种情况：①滑块2在圆周上运动时不超过C点，②滑块2在圆周上运动时能通过D点，通过牛顿第二定律和机械能守恒求出半圆轨道半径的取值范围．

解答 解：（1）设物块在斜面上下滑的加速度为a，滑到斜面底端所用的时间为t，由牛顿第二定律得，
mgsin30°=ma，①
由运动学公式得，v=at，②
联立①②式并代入数据解得t=1.4s．③
（2）设物块1运动到B点时速度为v₁，与2碰后速度为v₁′，碰后物块2的速度为 v₂，
对物块1，由动能定理有：$-μmgl=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，④
规定向右为正方向，对物块1、2系统运用动量守恒定律得，mv₁=2mv₂-mv₁′⑤
联立④⑤式并代入数据解得v₂=3m/s．    ⑥
（3）滑块2在圆周运动上运动时不脱离圆周，有两种情况：
①滑块2在圆周上运动时不超过C点，设半径为R₁，满足
$\frac{1}{2}•2m{{v}_{2}}^{2}≤2mg{R}_{1}$，⑦
代入数据解得R₁≥0.45m．
②滑块2在圆周上运动时能通过D点，设半径为R₂，满足
$2mg≤2m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{{R}_{2}}$，⑧
由能量守恒有：$2mg2{R}_{2}=\frac{1}{2}2m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}2m{{v}_{D}}^{2}$    ⑨
联立⑧⑨代入数据解得R₂≤0.18m．
综上所述，要使物块2沿半圆轨道运动时不脱离轨道，半圆轨道半径取值条件为：R≥0.45m或R≤0.18m．
答：（1）物块1由静止释放下滑到斜面底端所用的时间为1.4s；
（2）物块1与物块2碰撞后，物块2速度的大小为3m/s；
（3）若要使物块2沿半圆轨道运动时不脱离轨道，半圆轨道半径取值条件为R≥0.45m或R≤0.18m．

点评 本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，综合性较强，关键理清整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解．对于第三问物块2要不脱离轨道，要么通过最高点，要么不要越过四分之一圆周轨道．