Question

6．太阳系外有一恒星A，其质量为太阳质量的a倍，该恒星的一颗行星B绕其做圆周运动的周期为地球绕太阳运行的周期的b倍，求：
（1）行星B绕恒星A运动的轨道半径与地球绕太阳运动的轨道半径之比．
（2）行星B绕恒星A运动的线速度与地球绕太阳运动的线速度之比．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出行星B绕恒星A运动的轨道半径与地球绕太阳运动的轨道半径之比
（2）由$v=\frac{2πR}{T}$代入数据即可线速度之比

解答 解：（1）行星B的质量${m}_{B}^{\;}$，恒星A的质量${M}_{A}^{\;}$，轨道半径为${R}_{1}^{\;}$
地球质量${m}_{地}^{\;}$，太阳质量为${M}_{太}^{\;}$，轨道半径${R}_{2}^{\;}$
根据万有引力提供向心力，$G\frac{{M}_{A}^{\;}{m}_{B}^{\;}}{{R}_{1}^{2}}={m}_{B}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{R}_{1}^{\;}$，解得${R}_{1}^{\;}=\root{3}{\frac{G{M}_{A}^{\;}{T}_{1}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
$G\frac{{M}_{太}^{\;}{m}_{地}^{\;}}{{R}_{2}^{2}}={m}_{地}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}^{\;}$，解得${R}_{2}^{\;}=\root{3}{\frac{G{M}_{太}^{\;}{T}_{2}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
解得：$\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\root{3}{\frac{{M}_{A}^{\;}}{{M}_{太}^{\;}}\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}}=\root{3}{a•{b}_{\;}^{2}}$
（2）根据$v=\frac{2πR}{T}$
$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}•\frac{{T}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\root{3}{a{b}_{\;}^{2}}•\frac{1}{b}=\root{3}{\frac{a}{b}}$
答：（1）行星B绕恒星A运动的轨道半径与地球绕太阳运动的轨道半径之比$\root{3}{a{b}_{\;}^{2}}$．
（2）行星B绕恒星A运动的线速度与地球绕太阳运动的线速度之比$\root{3}{\frac{a}{b}}$

点评 本题要掌握万有引力提供向心力及圆周运动规律，注意本题中环绕天体是围绕两个不同的中心天体运动，同时要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．