Question

7．如图所示，质量为m=0.4kg的小钢球（可视为质点）从左侧光滑斜面上高度h=3.6m的A处由静止向滑下，经过水平粗糙直道BC，进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，轨道半径为R=0.4m，第一次通过轨道最高点P后，从最低点C进入水平粗糙直道CD，继而冲向右侧光滑斜面DE；斜面DE足够长且倾角θ=30°，小钢球滑下斜面DE后，经DC第二次通过轨道最高点P后，从轨道最低点C进入水平直道CB，继而冲向左侧斜面AB；如此往复运动．已知水平直道BC和CD长均为L=2.0m，小钢球与水平直道之间的动摩擦因数均为μ=0.2．重力加速度g取10m/s²．（每次经过轨道连接处B和D的能量损失均忽略不计）求：

（1）小钢球第一次经过C点时速度的v_c的大小；
（2）小钢球第一经过P点时，受到轨道弹力的大小；
（3）小钢球在竖直平面内做完整圆周运动的次数．

Answer 1

分析 （1）从A到C有动能定理求的到达C点的速度；
（2）从C到P根据动能定理可得到达P点的速度，根据牛顿第二定律求的作用力
（3）由牛顿第二定律求的刚好通过最高点的速度，根据动能定理求得在BD段通过的路程，即可求得次数

解答 解：（1）从A到C有动能定理可得
mgh-μmgL=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$
解得v_C=8m/s
（2）从C到P根据动能定理可得$-2mgR=\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$
解得${v}_{P}=4\sqrt{3}m/s$
在P点根据牛顿第二定律可得$mg+{F}_{N}=\frac{{mv}_{P}^{2}}{R}$
解得F_N=44N
（3）刚好能通过最高点P的速度为v，则mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得v=2m/s
从最高点到P点速度为2m/s过程中在BD段通过的总路程为x
$mgh-μmgx-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得x=13.6m
n=$\frac{x}{4}=\frac{13.6}{4}=3.4$
故钢球在竖直平面内做完整圆周运动的次数为3次
答：（1）小钢球第一次经过C点时速度的v_c的大小为8m/s；
（2）小钢球第一经过P点时，受到轨道弹力的大小为44N；
（3）小钢球在竖直平面内做完整圆周运动的次数为3次

点评 本题是简单的多过程问题，要灵活选择研究的过程．抓住合外力对物体做功等于物体动能的变化求解，掌握动能定理和受力做功分析是解决问题的关键