Question

13．一号卫星和二号卫星分别绕地球做匀速圆周运动，它们的质量之比为1：3，它们的轨道半径之比为1：4，则：
（1）一号卫星和二号卫星的线速度之比为多少？
（2）一号卫星和二号卫星的周期之比为多少？
（3）一号卫星和二号卫星的向心加速度之比为多少？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解出线速度v、周期T向心加速度a与轨道半径r之间的关系表达式，根据半径关系求其比值．

解答 解：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=ma，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
（1）$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{2}{1}$
（2）$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）}^{3}}=\sqrt{{（\frac{1}{4}）}^{3}}=\frac{1}{8}$
（3）向心加速度：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{16}{1}$
答：（1）一号卫星和二号卫星的线速度之比为2：1；
（2）一号卫星和二号卫星的周期之比为1：8；
（3）一号卫星和二号卫星的向心加速度之比为16：1．

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力这个关系，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．