Question

17．已知月球质量是地球质量的$\frac{1}{81}$，月球半径是地球半径的$\frac{1}{3}$
（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力得出重力加速度的表达式，从而求出重力加速度之比，结合速度位移公式求出上升的最大高度之比．
（2）根据高度相同，结合位移时间公式求出平抛运动的时间之比，根据初速度和时间得出水平之比．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
因为月球质量是地球质量的$\frac{1}{81}$，月球半径是地球半径的$\frac{1}{3}$，则月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{1}{9}$，
当以相同的初速度竖直向上时，上升的最大高度h=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$，可知上升的最大高度之比为9：1．
（2）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$知，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，知平抛运动的时间之比为3：1，
初速度相同，根据x=v₀t知，水平射程之比为3：1．
答：（1）上升的最大高度之比为9：1．
（2）物体的水平射程之比为3：1．

点评 本题考查了万有引力定律和竖直上抛运动和平抛运动的综合，通过万有引力等于重力得出重力加速度之比是解决本题的关键．