Question

18．如图所示，一个质量为m=2kg的小球，从高H=3.5m的A点处，由静止开始沿光滑曲面下滑，曲面底端连接一个半径R=1m的光滑圆环，若取g=10m/s²，求
（1）滑到圆环顶点B时，小球对环的压力
（2）小球至少应从多高处由静止滑下，才能通过圆环顶点B．

Answer 1

分析 （1）小球在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，运用机械能守恒定律求出小球滑至圆环顶点时的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力；
（2）恰好通过时，小球通过最高点的临界情况是弹力为零，根据重力提供向心力求出最高点的临界速度，再根据机械能守恒定律求出小球初位置的高度．

解答 解：选最低点为零势能参考平面
（1）小球在运动过程中，只有重力做功，根据机械能守恒有：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv²
再选小球位研究对象，它在B点的受力情况如图所示：

根据牛顿第二定律有：N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立以上两式得：N=40N
即达B点时，轨道对小球的压力大小为40N，方向竖直向下．根据牛顿第三定律，小球对圆环的压力大小也为40N，方向竖直向上．
（2）小球恰能通过最高点的条件是，在B点小球的重力恰能提供小球做圆周运动的向心力，即：mg=m$\frac{{v}^{′2}}{R}$，
设小球从h高处由静止滑下，根据机械能守恒定律有：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv^′2
两式联立得：h=2.5m
答：（1）滑到圆环顶点B时，小球对圆环的压力大小为40N，方向竖直向上；
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下，才能通过圆环顶点B．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键抓住小球运动的临界状态，运用牛顿第二定律和机械能守恒定律进行求解．