Question

7．如图所示，质量为M的圆环，用一根细线悬挂着．另有两个质量均为m的带孔小球可穿在环上做无摩擦的滑动，当两球由圆环顶部放开，并沿相反方向滑下时，小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ．
（1）在圆环不动的条件下，求悬线中的张力T随θ的变化规律
（2）小球与圆环的质量比$\frac{m}{M}$至少为多大时圆环才有可能上升？

Answer 1

分析 （1）对其中任一小珠研究，根据机械能守恒求得速度与θ的关系式，小珠做圆周运动，指向圆心的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小珠所受的圆环的弹力，再根据牛顿第三定律得到小珠对圆环的弹力，圆环处于静止状态，由平衡条件求出T与θ的关系式；
（2）当圆环所受的合力向上时，有可能上升，根据上问的结果进行讨论．

解答 解：（1）设小珠和大环圆心连线与竖直方向的夹角为θ时小珠的速度大小为v．根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mgR（1-cosθ）
设圆环对小珠的弹力大小为N，由牛顿第二定律得：
mgcosθ-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
对于圆环，合力为零，则有：T=Mg+2Ncosθ
联立以上三式得：Ncosθ=6mgcos²θ-4mgcosθ，T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ 
（2）由上知，T_min=Mg-$\frac{2}{3}$mg，说明此时小珠对圆环的作用力的合力方向向上，大小为：N′=$\frac{2}{3}$mg
当N′＞Mg时，圆环将会上升，则有：T_min=Mg-$\frac{2}{3}$mg＜0
解得：$\frac{m}{M}$＞$\frac{3}{2}$
答：（1）在圆环不动的条件下，悬线中的张力T随cosθ变化的函数关系是T=Mg+6mgcos²θ-4mgcosθ；
（2）小珠与圆环的质量比至少为$\frac{3}{2}$时圆环才有可能上升．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律、共点力平衡的综合运用，知道小圆环径向的合力提供向心力，解决本题的关键是运用机械能守恒、圆周运动、力平衡条件结合推导出T的表达式．