Question

7．将火箭在竖直起飞阶段视为加速度为a的匀加速运动．在竖直加速运动t时有一块保温泡沫塑料从箭壳上自行脱落，历经2t落地，保温泡沫塑料脱落后运动区域的重力加速度均为g．火箭最终将卫星送入距地表高度为$\frac{1}{10}$R的圆形轨道；R为地球半径．不计空气阻力，求：
（1）卫星在轨道上运行的加速度大小（用a表示）；
（2）卫星在轨道上运行的周期大约为多少分钟？（已知近地轨道卫星的最小周期为T₀分钟）

Answer 1

分析 （1）根据运动学公式求出地球表面的重力加速度，再由万有引力提供向心力求出在轨道上的加速度；
（2）根据万有引力提供向心力求出轨道半径最小时的周期，再根据万有引力提供向心力得到轨道处的重力加速度，联立即可求解

解答 解：（1）加速t秒时位移$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
取向上为正有：$-\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=at•2t-\frac{1}{2}g（2t）_{\;}^{2}$
得$g=\frac{5a}{4}$
     由在地面：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（\frac{11R}{10}）_{\;}^{2}}=ma′$  
所以$a′=\frac{125}{121}a$
（2）由题意$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}R$
由万有引力提供向心力有     $G\frac{Mm}{（\frac{11R}{10}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}×（\frac{11}{10}）R$
解得：$T=1.1\sqrt{1.1}{T}_{0}^{\;}$
答：（1）卫星在轨道上运行的加速度大小$\frac{125}{121}a$；
（2）卫星在轨道上运行的周期大约为$1.1\sqrt{1.1}{T}_{0}^{\;}$分钟

点评 本题考查万有引力定律的应用，同时考查竖直上抛运动以及匀速圆周运动的知识．保温泡沫塑料与火箭脱离时有向上的速度v=at，与火箭脱离后做竖直上抛运动，由运动学公式可用a表示出重力加速度，火箭进入轨道以后做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力定律求出火箭在轨道上运行时的加速度和周期．本题难度中等．