Question

13．如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩（可视作质点）质量为m=30kg，他在左侧平台上滑行一段距离后以3m/s的速度从平台右侧水平滑出，而后恰能无碰撞地沿圆弧切线方向从A点进入竖直面内的粗糙圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧两端点，对应圆心角为θ=53°，圆心O与平台等高，当小孩通过圆弧最低点时，对轨道的压力大小为390N．（g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6），求：
（1）平台距A点的高度h；
（2）小孩运动到圆轨道最低点B的速率v_B；
（3）如果在AB轨道下有一个高1m，倾角θ=45°的斜坡，那么小孩离开B点后能否落到斜坡上？如果能，求他第一次落在斜坡上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）小球无碰撞进入圆弧轨道，则小孩落到A点的速度方向沿A点的切线方向，根据平抛运动的速度夹角关系，运用平行四边形定则求出竖直方向上的分速度，进而得到时间，有运动学公式求得高度．
（2）根据小球在最低点对轨道的压力，结合牛顿第二定律求出B点速度，
（3）小孩离开B点后，做平抛运动，结合平抛运动知识求解即可．

解答 解：（1）由于小球无碰撞进入圆弧轨道，即小球落到A点时速度方向与A点切线平行，即：$tan53°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得：v_y=4m/s，
又因为平抛运动竖直方向做匀加速运动，则：v_y=gt=4m/s，解得：t=0.4s，又由$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{4}^{2}=0.8m$；
（2）根据几何关系得：Rcos53°=h，解得：$R=\frac{h}{cos53°}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}m$，
当小孩通过圆弧最低点时，对轨道的压力大小为390N，对小孩受力分析由牛顿第二定律：$N-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入数据：$390-30×10=30×\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{4}{3}}$，解得：v_B=2m/s；
（3）小孩离开B点后做平抛运动，设小球离开B点做平抛运动的时间为t₁，落地点到C点距离为s
由 h=$\frac{1}{2}$gt₁² 得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1}{10}}$s=$\sqrt{\frac{1}{5}}$ s 
  s=v_B•t₁=2×$\sqrt{\frac{1}{5}}$ m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ m＜1m，所以小球离开B点后能落在斜面上
假设小球第一次落在斜面上F点，BF长为L，小球从B点到F点的时间为t₂
 Lcosθ=v_Bt₂         ①
 Lsinθ=$\frac{1}{2}$gt₂²        ②
联立①、②两式得
t₂=0.4s
L=$\frac{{v}_{B}{t}_{2}}{cos45°}$=$\frac{2×0.4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$m=0.8$\sqrt{2}$m=1.13m；
答：（1）平台距A点的高度h为0.8m；（2）小孩运动到圆轨道最低点B的速率v_B为2m/s；（3）能落到斜坡上，第一次落在斜坡上的位置距离B点1.13m．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的规律，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解，牛顿第二定律在本类题目中应用是常见的解题方法．