Question

如图所示，M₁N₁N₂M₂是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m₀．导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计．初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B．现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动．已知经过时间t，PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I₀，导轨向右移动的距离为x₀（导轨的N₁N₂部分尚未进入磁场区域）．求：
（1）杆受到摩擦力的大小？
（2）经过时间t，杆速度的大小v为多少？
（3）在此过程中电阻所消耗的能量．（不考虑回路的自感）．

Answer 1

（1）因U型导轨在滑动摩擦力作用下做匀加速度直线运动，
则有：Fμ=m₀a
而：a=

2x0

t2

所以：Fμ=

2m0x0

t2

根据牛顿第三定律，杆受到的摩擦力大小：

F

′μ

=Fμ=

2m0x0

t2

（2）设经过时间t杆的速度为v，则杆与导轨构成的回路中的感应电动势：
E=Blv
根据题意，此时回路中的感应电流：
I0=

E

R

得：v=

I0R

Bl

（3）杆的合力做功等于杆所增加的动能，即：
WF+WF安+WFμ=

1

2

mv2
W_F为恒力F对杆做的功：W_F=Fx
W_Fμ为摩擦力对杆做的功：W_Fμ=-F_μ?x
杆克服安培力做的杆等于电阻所消耗的能量，若以E_R表示电阻所消耗的能量，
则有-W_F安=E_R
电阻所消耗的能量：ER=(F-2m0

x0

t2

)x-

1

2

m

I 20 R2

B2l2

答：（1）杆受到摩擦力的大小

2m0x0

t2

；
（2）经过时间t，杆速度的大小v为

I0R

Bl

；
（3）在此过程中电阻所消耗的能量ER=(F-2m0

x0

t2

)x-

1

2

m

I 20 R2

B2l2

．