Question

2．如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，O₁O为中轴线．当两板间加电压U_MN=U₀时，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场．某种带负电的粒子从O₁点以速度v₀沿O₁O方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计．

（1）求带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若MN间加如图乙所示的交变电压，其周期$T=\frac{L}{{2{v_0}}}$，从t=0开始，前$\frac{T}{3}$内U_MN=2U，后$\frac{2T}{3}$内U_MN=-U，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持续射入电场，最终所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值；
（3）紧贴板右侧建立xOy坐标系，在xOy坐标第I、IV象限某区域内存在一个圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于xOy坐标平面，要使在（2）问情景下所有粒子经过磁场偏转后都会聚于坐标为（2d，2d）的P点，求磁感应强度B的大小范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成与分解规律可求得比荷；
（2）由题意可知粒子在电场中的运动过程，根据电场的周期性变化规律可明确粒子在电场中的运动规律，根据条件则可求得电压值；
（3）所有粒子在磁场中均做匀速圆周运动，根据题意由几何关系可明确磁感应强度的大小范围．

解答 解：（1）设粒子经过时间t₀打在M板中点，沿极板方向有：
$\frac{1}{2}L={v_0}{t_0}$
垂直极板方向有：
$\frac{1}{2}d=\frac{{q{U_0}}}{2md}{t_0}^2$
解得：$\frac{q}{m}=\frac{{4{d^2}v_0^2}}{{{U_0}{L^2}}}$
（2）粒子通过两板时间为：$t=\frac{L}{v_0}=2T$
从t=0时刻开始，粒子在两板间运动时每个电压变化周期的前三分之一时间内的加速度大小${a_1}=\frac{2qU}{md}$，方向垂直极板向上；在每个电压变化周期的后三分之二时间内加速度大小${a_2}=\frac{qU}{md}$，方向垂直极板向下．不同时刻从O₁点进入电场的粒子在电场方向的速度v_y随时间t变化的关系如图所示．
因为所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在t=nT或$t=nT+\frac{1}{3}T$时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上下边缘处飞出．它们在电场方向偏转的距离最大．有：$\frac{d}{2}=2[\frac{1}{2}（{a_1}\frac{T}{3}）T]$
解得：$U=\frac{{3{U_0}}}{4}$
（3）所有粒子射出电场时速度方向都平行于x轴，大小为v₀．设粒子在磁场中的运动半径为r，则有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$
解得：$r=\frac{{m{v_0}}}{qB}$
粒子进入圆形区域内聚焦于P点时，磁场区半径R应满足：R=r
在圆形磁场区域边界上，P点纵坐标有最大值，如图所示．
磁场区的最小半径为：${R_{min}}=\frac{5}{4}d$，
对应磁感应强度有最大值为：${B_{max}}=\frac{{4m{v_0}}}{5qd}$=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{5{d}^{3}{v}_{0}}$
磁场区的最大半径为：R_max=2d，
对应磁感应强度有最小值为：${B_{min}}=\frac{{m{v_0}}}{2qd}$=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8{d}^{3}{v}_{0}^{\;}}$
所以，磁感应强度B的可能范围为：$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8{d}^{3}{v}_{0}^{\;}}$≤B$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{5{d}^{3}{v}_{0}}$
答：（1）带电粒子的比荷$\frac{4{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$；
（2）电压U的值为$\frac{3{U}_{0}}{4}$
（3）紧磁感应强度B的大小范围$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8{d}^{3}{v}_{0}^{\;}}$≤B$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{5{d}^{3}{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，要注意电场中类平抛运动运动由运动的合成与分解求解；而磁场中的圆周运动解题的关键在于几何关系的把握．