Question

5．距离地面H处有一钢珠自由下落，下方为泥潭，小钢珠能落入泥潭深h处，求：
（1）落入泥潭前钢珠的速度最大为多少？
（2）泥潭阻力对钢珠所做的功为多少？
（3）求泥潭多钢珠的平均阻力$\overline{f}$；
（4）若泥潭对钢珠的平均阻力不变，钢珠以初速度v₀竖直下抛，则可陷入泥潭的深度h₁为多少？

Answer 1

分析 对钢珠的运动分成空中，泥潭中和整个过程应用动能定理可以求出小球的速度、做功、阻力及下沉的深度

解答 解：（1）钢珠从静止到落入泥潭前作为研究过程，由动能定理可得：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，解得：${v}_{1}=\sqrt{2gH}$
（2）钢珠从静止到停止作为研究过程，由动能定理可得：
mg（H+h）-W_f=0-0
解得：W_f=mg（H+h）
（3）由（2）中可知，W_f=mg（H+h）=$\overline{f}$h，解得：$\overline{f}$=$\frac{mg（H+h）}{h}$
（4）钢珠从初速度v₀竖直下抛，到停止作为研究过程，由动能定理可得：
mg（H+h₁）-$\overline{f}$h₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：h₁=$\frac{mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}{\overline{f}-mg}=\frac{mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}{\frac{mg（H+h）}{h}-mg}$=$h+\frac{{v}_{0}^{2}h}{2gh}$，
答：（1）落入泥潭前钢珠的速度最大为$\sqrt{2gH}$
（2）泥潭阻力对钢珠所做的功为mg（H+h）
（3）求泥潭多钢珠的平均阻力$\overline{f}$为$\frac{mg（H+h）}{h}$；
（4）若泥潭对钢珠的平均阻力不变，钢珠以初速度v₀竖直下抛，则可陷入泥潭的深度h₁为$h+\frac{{v}_{0}^{2}h}{2gh}$．

点评 对于动能定理来说，除确定各力做功情况及初末动能外，还要注意过程的选取．当取合理的过程时，解题会简便．例如：此处从静止到停止过程，解题非常方便．