Question

10．质量m₁=2kg，长L=2.3m的木板放在光滑水平面上，木板右端与右侧固定的光滑$\frac{3}{4}$圆弧轨道最低点A的间距x=2.1m．且木板上表面与A点等高，A点切线水平，圆轨道半径R=0.08m，质量m₂=2kg的小铁块（可视为质点）乙v₀=6m/s的水平速度从木板左端滑上木板，小铁块与木板间动摩擦因数μ=0.5．木板与圆轨道碰撞后立即停止运动，小铁块恰好能到达圆弧轨道的最高点B，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小铁块在B点时的速度；
（2）小铁块对A点的压力；
（3）从小铁块滑上木板到滑上圆轨的A点所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）物体恰好到达B点，由牛顿第二定律求的B点速度；
（2）从A到B由动能定理求的B点速度，由牛顿第二定律求的在A点作用力；
（3）由运动学公式分别求的减速和匀速阶段的时间即可求得总时间

解答 解：（1）小铁块恰好到达B点由牛顿第二定律得：mg=$\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.08}m/s=\sqrt{0.8}m/s$
（2）从A到B由动能定理可得：$-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$
代入数据解得：v_A=2m/s
在A点有：$N-mg=\frac{{mv}_{A}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=120N
由牛顿第三定律可知对A点的压力为120N
（3）木板的加速度为：${a}_{1}=\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{1}}=μg=5m/{s}^{2}$
小铁块的加速度为：${a}_{2}=\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}}=μg=5m/{s}^{2}$
达到共同速度所需时间为t，有：v₀-a₂t=a₁t
代入数据解得：t=0.6s
此时速度为：v=a₁t=5×0.6=3m/s
在0.6s内小铁块前进的位移为：${x}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=2.7m$
木板前进的位移为：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×5×0．{6}^{2}m=0.9m$
达到共同速度后到与圆轨道相碰所需时间为：t$′=\frac{x-{x}_{2}}{v}=\frac{2.1-0.9}{3}s=0.4s$
碰后小铁块继续做减速运动，所需时间为：$t″=\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{2}}=\frac{3-2}{5}s=0.2s$
故所需总时间为：t_总=t+t′+t″=1.2s
答：（1）小铁块在B点时的速度为$\sqrt{0.8}m/s$；
（2）小铁块对A点的压力为120N；
（3）从小铁块滑上木板到滑上圆轨的A点所经历的时间为1.2s

点评 本题关键要分清出长木板的运动情况，而小铁块的运动是先做匀减速直线运动，后做匀速运动，再做匀减速运动，然后根据运动学公式列式求解