题目内容
10．
如图所示，倾角为a的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，压缩弹簧使其长度为$\frac{3}{4}$L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g．（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
（3）求弹簧的最大伸长量及物体运动的最大速度．
分析 （1）物块处于平衡位置时，受重力、支持力和弹簧的弹力，三力平衡，根据平衡条件和胡克定律列式求解；
（2）抓住x表示物块相对于平衡位置的位移，根据牛顿第二定律推导回复力是否满足F=-kx，从而证明；
（3）简谐运动具有对称性，先求解出振幅，然后确定最大伸长量x；由功能关系即可求出物块的最大速度．
解答 解：（1）物块处于平衡位置时，受重力、支持力和弹簧的弹力，此时弹簧的弹力等于重力沿斜面分力，由平衡条件得
k△x=mgsinα
故弹簧的伸长量△x=$\frac{mgsinα}{k}$
所以弹簧长度 L′=L+△x=L+$\frac{mgsinα}{k}$
（2）取沿斜面向下方向为x轴正方向建立x轴，原点在平衡位置．
当物块的位移大小为x时，弹簧伸长量为x+△x，物块所受合力为：
F合=mgsinα-k（x+△x）
结合k△x=mgsinα
联立以上各式可得：F合=-kx
可知物块作简谐运动．
（3）根据简谐运动的对称性，压缩弹簧使其长度为$\frac{3}{4}$L时将物块由静止开始释放，则开始时的压缩量为$\frac{L}{4}$，故其振幅为：
A=$\frac{L}{4}$+△x=$\frac{L}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$
故其最大伸长量为：x=A+△x=$\frac{L}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$+$\frac{mgsinα}{k}$=$\frac{L}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$
由机械能守恒可知：$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=\frac{1}{2}k{A}^{2}$
联立得：${v}_{m}=A•\sqrt{\frac{k}{m}}$=$（\frac{L}{4}+\frac{mgsinα}{k}）•\sqrt{\frac{k}{m}}$
答：（1）物块处于平衡位置时弹簧的长度L是L+$\frac{mgsinα}{k}$；
（2）证明见上；
（3）弹簧的最大伸长量x是$\frac{L}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$，物体运动的最大速度为$（\frac{L}{4}+\frac{mgsinα}{k}）•\sqrt{\frac{k}{m}}$．
点评 本题结合简谐振动考查牛顿第二定律、功能关系和胡克定律的综合运用，理清过程，确定出平衡位置，得出振幅的大小是解决本题的关键．
黄冈冠军课课练系列答案
如图、两根相互平行的金属导轨水平放置于如图所示的匀强磁场中，与导轨接触良好的导体棒AB 和 CD 可以在导轨上自由滑动，当 AB 在外力 F 作用下向右运动时，下列说法正确的是（ ）| A． | 导体棒 CD 内有电流通过，方向是 D 到 C | |
| B． | 导体棒 CD 内有电流通过，方向是从 C 到 D | |
| C． | 磁场对导体棒 CD 的作用力水平向左 | |
| D． | 磁场对导体棒 AB 的作用力水平向右 |
如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A和B与转台间的动摩擦因数均为μ，A与转台中心的距离为2r，B与转台中心的距离为r．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）| A． | 转台对A的摩擦力一定为μmg | |
| B． | 转台对B的摩擦力一定为2mω2r | |
| C． | 转台的角速度一定小于等于$\sqrt{\frac{μg}{r}}$ | |
| D． | 转台的角速度逐渐增大的过程中，A比B先滑动 |
质量m的滑块A在斜向上的恒力F作用下沿水平面向右匀速运动，已知滑块和水平面之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，关于滑块的受力，下列分析正确的是（ ）| A． | 滑块可能受到三个力的作用 | |
| B． | 当θ=30°时，恒力最小 | |
| C． | 当F=$\frac{8mg}{15}$时，满足要求的θ只有一个 | |
| D． | 滑块受到地面的摩擦力一定大于地面的支持力 |
如图所示，质量为m=2kg的小球以一定速度从左边界上A的点射入边长为L=0.3m的虚线所围成的正方形区域，质点在区域中做匀速圆周运动，经过时间t=10-3 s，质点从区域右边界的B点射出，射出时速度方向已转过的角度$θ=\frac{π}{6}$，求：
图中M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间成真空．两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S（与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上．如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（ ）| A． | 只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒 | |
| B． | 有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与缝平行的窄条上 | |
| C． | 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s缝平行的窄条上 | |
| D． | 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与s缝平行的窄条上 |
| A． | 质点一定做匀加速直线运动 | |
| B． | 质点可能做匀速圆周运动 | |
| C． | 质点加速度的方向与撤去的那个力的方向相同 | |
| D． | 质点单位时间内速度的变化量总是不变 |