Question

17．如图所示，不可伸长的轻绳穿过光滑竖直固定细管，细管长为l，两端拴着质量分别为m、2m的小球A和小物块B，拉着小球A使它停在管的下端，这时物块B离管的下端距离为l，管的下端离水平地面的距离为2l，拉起小球A，使绳与竖直方向成一定夹角，给小球A适当的水平速度，使它在水平面内做圆周运动，上述过程中物块B的位置保持不变，已知重力加速度为g．
（1）求绳与竖直方向夹角θ和小球A做圆周运动的角速度w₁；
（2）在小球A做圆周运动时剪断轻绳，求小球A第一次落地点到物块B落地点的距离s；
（3）若小球A从管的下端拉起时带动物块B上移，B到管下某位置时使小球A在水平面内做角速度w₂的圆周运动，求整个过程中人对A、B系统做的功W．

Answer 1

分析 （1）对A球分析，由力的平衡条件和牛顿第二定律列式联立可求绳与竖直方向夹角θ和小球A做圆周运动的角速度w₁；
（2）根据平抛运动的规律和几何关系可求小球A第一次落地点到物块B落地点的距离；
（3）由力的平衡条件和牛顿第二定律并结合功能关系列式联立可求整个过程中人对A、B系统做的功W．

解答 解：（1）小球A在重力和轻绳的拉力作用下在水平面内做圆周运动，则：
轻绳的拉力为：T=2mg
竖直方向受力平衡：Tcosθ-mg=0
水平方向由牛顿第二定律得：Tsinθ=mω₁²lsinθ
代入数据联立解得：θ=60⁰，ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$．
（2）在小球A做圆周运动时剪断轻绳，A做平抛运动，设平抛运动的时间为t，则
竖直方向上有：$\frac{5}{2}$l=$\frac{1}{2}$gt²
平抛的初速度：v₁=ω₁lsinθ
由几何关系有：s=$\sqrt{（{v}_{1}t）^{2}+（lsinθ）^{2}}$
代入数据联立解得：s=$\frac{\sqrt{33}}{2}l$
（3）设B物体位置上移x，小球A做圆周运动时轻绳与竖直方向的夹角为α，则
竖直方向受力平衡：Tcosα-mg=0
水平方向由牛顿第二定律得：Tsinα=mω₂²（l+x）sinα
解得：x=$\frac{2g}{{ω}_{2}^{2}}$-l
由功能关系有：W=2mgx+mg[l-（l+x）cosα]+$\frac{1}{2}$m[（l+x）ω₂sinα]²
解得：W=$\frac{9m{g}^{2}}{2{ω}_{2}^{2}}$-mgl
答：（1）绳与竖直方向夹角为60⁰；小球A做圆周运动的角速度为$\sqrt{\frac{2g}{l}}$；
（2）小球A第一次落地点到物块B落地点的距离为$\frac{\sqrt{33}}{2}l$；
（3）整个过程中人对A、B系统做的功为$\frac{9m{g}^{2}}{2{ω}_{2}^{2}}$-mgl．

点评 对于圆锥摆问题，关键分析小球的受力情况，确定其向心力，运用牛顿第二定律和圆周运动的知识结合解答，注意联系计算能力．