Question

19．真空中有一等腰梯形匀强磁场区域ABCD，磁场方向垂直纸面向里，强度为B，且AD=AB=a，BC=2a，如图所示，建立沿DA边为x轴A为原点的直角坐标系，从A点在纸面内沿y轴正方向发射各种速率的电子，设电子间相互作用忽略，已知电子的电量为e，质量为m．
（1）在磁场中的转动半径分别为$\frac{1}{2}$a和$\sqrt{3}$a的电子，在磁场中的运动时间之比为多少？
（2）若使所有从A沿y轴正方向出发的电子在磁场中运动时间相同，则电子的速率应满足什么条件？
（3）若使电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，速率应满足什么条件？且在x轴上什么范围内能接收到返回的电子？

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子在磁场中做圆周运动的圆心角，结合圆心角之比，抓住周期相等，求出粒子在磁场中运动的时间之比．
（2）当粒子从AB段射出，粒子对应的圆心角相等，为60度，则运动的时间相等．根据半径，结合半径公式求出最大速度．
（3）电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，临界情况是与BC边相切，根据几何关系求出临界半径，结合半径公式求出最大速度．从而通过几何关系求出电子打到x轴上范围．

解答 解：（1）当粒子在磁场中转动的半径为$\frac{1}{2}a$时，如图所示，圆心为O₁，根据几何关系知，圆心角θ₁=60°，
当粒子在磁场中转动的半径为$\sqrt{3}a$时，如图所示，圆心为O₂，设圆心角为θ₂，
则sin${θ}_{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{2}$，解得θ₂=30°，
粒子在磁场中的运动时间t=$\frac{θ}{2π}T$，T=$\frac{2πm}{qB}$，
可知粒子的周期相等，则t₁：t₂=2：1．
（2）当粒子从AB段射出，粒子对应的圆心角相等，为60度，则运动的时间相等．
根据几何关系知，r=a，
根据$r=\frac{mv}{qB}$知，最大速度v=$\frac{eBa}{m}$．
所以v$≤\frac{eBa}{m}$．
（3）电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，临界情况是与BC边相切，
根据几何关系得，最大半径r=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
根据r=$\frac{mv}{eB}$得，最大速度${v}_{m}=\frac{\sqrt{3}eBa}{4m}$，
则$v≤\frac{\sqrt{3}eBa}{4m}$．
粒子从E点射出，根据几何关系得，AE=$2rcos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{4}a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a$，
因为圆心角为60度，则粒子在x轴上A到A点右侧$\frac{3}{4}a$范围内能接收到返回的电子．
答：（1）在磁场中的运动时间之比为2：1．
（2）电子的速率应满足v$≤\frac{eBa}{m}$．
（3）若使电子从A沿x轴负方向出发，电子经磁场偏转后能再次回到x轴，速率应满足$v≤\frac{\sqrt{3}eBa}{4m}$，且在x轴上从A到A点右侧$\frac{3}{4}a$范围内能接收到返回的电子．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中做圆周运动，会确定圆心、半径和圆心角是处理带电粒子在磁场中运动的基本功，本题关键抓住临界状态，作出轨迹图，通过几何关系，结合半径公式和周期公式进行求解．