Question

12．如图所示，半径为R的半圆形的圆弧槽固定在水平面上，质量为m的小球（可视为质点）从圆弧槽的端点A由静止开始滑下，滑到最低点B时对轨道的正压力为2mg，重力加速度为g，则（　　）

• A． 小球在最低点B时速度为$\sqrt{2gR}$
• B． 小球在B点时，重力的功率为mg$\sqrt{gR}$
• C． 小球由A到B的过程中克服摩擦力做功为$\frac{1}{2}$mgR
• D． 小球由A到B过程中速度先增大后减小

Answer 1

分析 根据小球在B点受力，由牛顿第二定律求得速度大小；对下滑过程应用动能定理得到摩擦力做的功；由小球受力得到沿速度方向的合外力，进而得到速度变化．

解答 解：A、滑到最低点B时对轨道的正压力为2mg，那么由牛顿第三定律可知：小球受到的支持力也为2mg，那么由牛顿第二定律可得：$2mg-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\sqrt{gR}$，故A错误；
B、小球在B点的速度$v=\sqrt{gR}$，方向水平向右；重力方向竖直向下，重力与速度方向垂直，所以，重力的功率为0，故B错误；
C、对小球下滑过程应用动能定理可得：小球由A到B的过程中克服摩擦力做功为：$W=mgR-\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR-\frac{1}{2}mgR=\frac{1}{2}mgR$，故C正确；
D、小球在任一径向与竖直方向成θ时，沿速度方向受到的合外力为：$F=mgsinθ-μ（mgcosθ+\frac{m{v}^{2}}{R}）$，那么在该方向上的加速度为：$a=（tanθ-μ）gcosθ-μ\frac{{v}^{2}}{R}$；
那么当小球开始下滑较短时间时，速度v较小，夹角θ较小，a大于0，小球加速；当θ较大时，a小于0，小球减速，故小球由A到B过程中速度先增大后减小，故D正确；
故选：CD．

点评 对物体运动学问题，一般通过对物体进行受力分析得到合外力，然后由牛顿第二定律求得加速度，进而得到物体运动状态．