题目内容
7．
如图所示，间距为L平行且足够长的光滑导轨由两部分组成：倾斜部分与水平部分平滑相连，倾角为θ，在倾斜导轨顶端连接一阻值为r的定值电阻．质量为m、电阻也为r的金属杆MN垂直导轨跨放在导轨上，在倾斜导轨区域加以垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场；在水平导轨区域加另一垂直轨道平面向下、磁感应强度也为B的匀强磁场．闭合开关S，让金属杆MN从图示位置由静止释放，已知金属杆运动到水平轨道前，已达到最大速度，不计导轨电阻且金属杆始终与导轨接触良好，重力加速度为g．求：（1）金属杆MN在倾斜导轨上滑行的最大速率vm；
（2）金属杆MN在倾斜导轨上运动，速度未达到最大速度vm前，当流经定值电阻的电流从零增大到I0的过程中，通过定值电阻的电荷量为q，求这段时间内在定值电阻上产生的焦耳热Q；
（3）金属杆MN在水平导轨上滑行的最大距离xm．
分析 （1）金属杆达到最大速度时，受重力、支持力和安培力，根据平衡条件列式求解安培力，根据安培力公式和切割公式列式求解最大速度；
（2）当流经定值电阻的电流从零增大到I0的过程中，先根据切割公式、欧姆定律公式和电流定义式联立求解得到位移；再对该过程根据功能关系列式求解产生的电热；
（3）在水平面上滑动过程，根据切割公式、欧姆定律公式、安培力公式得到安培力表达式，再结合微元法列式分析求解即可．
解答 解：（1）金属杆MN在倾斜导轨上滑行的速度最大时，其受到的合力为零，
对其受力分析，可得：mgsinθ-BIL=0…①
根据欧姆定律可得：I=$\frac{BL{v}_{m}}{2r}$…②
联立可得：vm=$\frac{2mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）设在这段时间内，金属杆运动的位移为x，由电流的定义可得：q=$\overline{I}t$…③
根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得：$\overline{I}=\frac{B△S}{2r△t}=\frac{BLx}{2r△t}$…④
联立③④得：$q=\frac{BLx}{2r}$
解得：x=$\frac{2qr}{BL}$；
设电流为I0时金属杆的速度为v，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律，可得：I0=$\frac{BLv}{2r}$…⑤
设此过程中，电路产生的焦耳热为Q，由功能关系可得：mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…⑥
电阻R产生的焦耳热Q热=$\frac{1}{2}Q$…⑦
联立可得：Q热=$\frac{mgqrsinθ}{BL}-\frac{m{I}_{0}^{2}{r}^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
（3）设金属杆在水平导轨上滑行的最大距离为xm，
由牛顿第二定律得：BIL=ma…⑧
由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义可得：I=$\frac{BLv}{2r}$…⑨
联立⑧⑨可得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2r}v=m\frac{△v}{△t}$，
$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2r}v△t=m△v$，即$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2r}{x}_{m}=m{v}_{m}$，
得：${x}_{m}=\frac{4{m}^{2}g{r}^{2}sinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）金属杆MN在倾斜导轨上滑行的最大速率vm为$\frac{2mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）这段时间内在定值电阻上产生的焦耳热Q为$\frac{mgqrsinθ}{BL}-\frac{m{I}_{0}^{2}{r}^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金属杆MN在水平导轨上滑行的最大距离xm为$\frac{4{m}^{2}g{r}^{2}sinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
点评 本题是滑轨问题，关键是熟练运用切割公式、欧姆定律公式和安培力公式，同时要注意求解电热时用功能关系列式分析，求解电荷量和位移时用平均值分析．
名校课堂系列答案
如图，水平桌面上固定有光滑金属导轨MN、PQ，它们的夹角为45°，导轨的右端点N、Q通过细导线与导体棒cd连接，在水平导轨MN、PQ上有一根质量M=0.8kg的足够长的金属棒ab垂直于导轨PQ，初始位置与两根导轨的交点为E、F，且E、F之间的距离为L1=4m，水平导轨之间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B1=0.5T，导体棒cd水平放置，处于匀强磁场B2中，匀强磁场B2水平且垂直导体棒cd向内，B2=0.3T，导体棒cd的质量m=0.1kg，长l0=0.5m，电阻R=1.5Ω，其他电阻均不计，不计细导线对c、d点的作用力，金属棒ab在外力的作用下从EF处以一定的初速度向右做直线运动，导体棒cd始终保持静止，取g=10m/s2，求：| A． | 赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为$\frac{{v}_{1}}{v3}$=$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$ | |
| B． | 赤道上物体与近地卫星的角速度之比为$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$ | |
| C． | 赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为$\frac{{a}_{1}}{{a}_{3}}$=$\frac{R}{（R+h）}$ | |
| D． | 近地卫星处与“三号卫星”处的重力加速之比为$\frac{{g}_{2}}{{g}_{3}}$=$\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}$ |
如图所示，水平地面上有三个静止的小物块A、B、C，质量均为m=2kg，相距均为l=5m，物块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.25．班对A施加一水平向右的恒力F=10N，此后每次碰撞后物体都粘在一起运动．设碰撞时间极短，重力加速度大小为g=10m/s2．求：
如图所示，光滑水平桌面上固定放置的长直导线中通以大小为I的恒定电流，桌面上导线的右侧距离通电长直导线2l处有两线框abcd、a′b′c′d′正以相同的速度v0经过虚线MN向左运动，MN平行长直导线，两线框的ad边、a′d′边与MN重合，线框abcd、a′b′c′d′是由相同材料制成的、质量相同的单匝正方形金属线框，边长分别为l、2l．已知通电长直导线周围磁场中某点的磁感应强度B=k$\frac{I}{r}$k为常数，r表示该点到长直导线的距离）．下列说法正确的是（ ）| A． | 此时流经线框abcd、a′b′c′d′的电流强度之比为4：3 | |
| B． | 此时线框abcd、a′b′c′d′所受安培力的功率之比为4：9 | |
| C． | 此时线框abcd、a′b′c′d′的加速度之比为4：9 | |
| D． | 此时a、b间电压Uab=$\frac{kl{v}_{0}}{24}$ |
如图所示，固定的竖直光滑U型金属导轨，间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电阻忽略不计．初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1=$\frac{mg}{k}$，此时导体棒具有竖直向上的初速度v0．在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．则下列说法正确的是（ ）| A． | 初始时刻导体棒受到的安培力大小$F=\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{R}$ | |
| B． | 初始时刻导体棒加速度的大小a=2g+$\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{m（R+r）}$ | |
| C． | 导体棒开始运动直到最终静止的过程中，克服安培力做功等于棒上电阻r的焦耳热 | |
| D． | 导体棒开始运动直到最终静止的过程中，回路上产生的焦耳热Q=$\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{{2{m^2}{g^2}}}{k}$ |
利用超导体可以实现磁悬浮．在水平桌面上放置一周长为L，质量为m的超导圆环，如图所示，一永磁铁在外力作用下，从圆环正上方缓慢下移至离桌面高H处撤去外力，永磁铁恰好平衡，此时圆环中的感应电流大小为I，其所在处磁场的磁感应强度大小为B，方向与水平成θ角，求：| A． | 原磁场穿过闭合回路的磁通量增加时，感应电流的磁场与原磁场方向可能相同 | |
| B． | 闭合电路的一部分导体在磁场运动时，一定受到安培力的作用 | |
| C． | 感应电流的磁场总是要阻碍引起感应电流的磁通量的变化 | |
| D． | 感生电流的磁场方向总是跟原磁场的方向相反，阻碍原磁场 |
| A． | 向东 | B． | 向南 | C． | 向西 | D． | 向北 |