Question

19．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）（　　）

• A． $\frac{{v}^{2}}{16g}$
• B． $\frac{{v}^{2}}{8g}$
• C． $\frac{{v}^{2}}{4g}$
• D． $\frac{{v}^{2}}{2g}$

Answer 1

分析 根据动能定理得出物块到达最高点的速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而得出水平位移的表达式，结合表达式，运用二次函数求极值的方法得出距离最大时对应的轨道半径．

解答 解：设半圆的半径为R，根据动能定理得：
$-mg•2R=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
离开最高点做平抛运动，有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v′t，
联立解得：x=$\sqrt{\frac{4R（{v}^{2}-4gR）}{g}}$=$\sqrt{\frac{-16g（R-\frac{{v}^{2}}{8g}）^{2}+\frac{{v}^{4}}{4g}}{g}}$
可知当R=$\frac{{v}^{2}}{8g}$时，水平位移最大，故B正确，ACD错误．
故选：B．

点评 本题考查了动能定理与圆周运动和平抛运动的综合运用，得出水平位移的表达式是解决本题的关键，本题对数学能力的要求较高，需加强这方面的训练．