Question

7．如图所示，为供儿童娱乐的滑梯的示意图，其中AB为光滑斜面滑槽，与水平方向的夹角为θ=37°；长L的BC水平滑槽，与半径R=0.4m的$\frac{1}{4}$圆弧CD相切，ED为地面．已知通常儿童在滑槽BC上滑动时的动摩擦因数μ=0.5，斜面AB与水平面BC用一小段光滑圆弧连接，A点离地面的竖直高度AE为H=1.6m．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）儿童从静止开始由A滑到B的时间t（结果可以用根号表示）；
（2）为保证儿童在娱乐时的安全，到达C点时速度不能超过2m/s，则水平滑槽BC的长度L至少为多少．

Answer 1

分析 （1）由牛顿运动定律可得加速度，根据x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$求解时间；
（2）根据牛顿第二定律求出儿童在C处不受支持力时的速度，结合动能定理求出水平滑槽的最小长度．

解答 解：（1）AF=AE-R=2m-0.2m=1.8m AB=$\frac{AF}{sin37°}$=3m
儿童从A处到B处，由牛顿运动定律可得：mgsin37-μmgcos37°=ma
a=gsin37°-μgcos37°=10×0.6-0.5×10×0.8=2m/s²
根据x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
知t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{2}}$=$\sqrt{3}$s
（2）若儿童恰好从C处平抛出，则儿童在C处时不受地面的弹力作用．
即mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：v_C=$\sqrt{gR}$=2m/s
v_B=at=2×$\sqrt{3}$m/s=2$\sqrt{3}$m/s
儿童从B到C处，由动能定理可得：-μmg•BC=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：BC=$\frac{{v}_{C}^{2}-{v}_{B}^{2}}{-2μg}$=$\frac{{2}^{2}-{2}^{2}{\sqrt{3}}^{2}}{-2×10×0.5}$m=1m
所以BC长至少为1m．
答：（1）儿童从静止开始由A滑到B的时间为$\sqrt{3}s$；
（2）为保证儿童在娱乐时的安全，到达C点时速度不能超过2m/s，则水平滑槽BC的长度L至少为1m．

点评 题综合运用了牛顿第二定律和动能定理，运用动能定理解题时选择好研究的过程，列式求解，有时过程选得适当，会起到事半功倍的效果，但涉及到时间和速度方向时，需要应用运动学知识．