Question

2．如图所示，在xoy坐标系的第一、二象限内存在有界的匀强磁场，磁场区域是以原点O为圆心、半径为R的半圆形内，磁场的方向垂直于xoy平面并指向纸面外，磁感应强度为B．第三、四象限存在方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子放在A（0，-d）点，静止释放该粒子，经电场加速后从O点射入磁场．粒子的重力不计．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E₀，求E₀；
（3）若电场强度E=$\frac{2}{3}$ E₀，求粒子经过x轴时的位置．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入磁场的速度，根据粒子在磁场中的半径公式求出粒子在磁场中运动的轨道半径．
（2）要使粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，作出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出粒子在磁场中的半径，从而求出电场强度的大小．
（3）若电场强度E等于第（2）问E₀的$\frac{2}{3}$，求粒子在磁场中运动的轨迹半径，画出粒子的运动轨迹，由几何知识求经过x轴时的位置．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得      qEd=$\frac{1}{2}m{v^2}$，
粒子进入磁场后做圆周运动，有          qvB=m$\frac{v^2}{r}$，
解得粒子在磁场中运动的半径r=$\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$．
（2）要使粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，
运动情况如图①，由几何知识可得
R=$\sqrt{2}r$，
由以上各式解得  E₀=$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$．                        
（3）将E=$\frac{2}{3}$E₀代入可得磁场中运动的轨道半径   r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
粒子运动情况如图②，图中的角度α、β满足
cosα=$\frac{\frac{R}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即α=30°．
则得  β=2α=60°           
所以  粒子经过x轴时的位置坐标为   x=r+$\frac{r}{cosβ}$
解得x=$\sqrt{3}$R．
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r为$\frac{{\sqrt{2mqEd}}}{qB}$．
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E₀为$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{4md}$．
（3）粒子经过x轴时的位置为x=$\sqrt{3}R$．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的类型，运用动能定理、牛顿第二定律和几何知识结合进行解决．