题目内容
19．
如图所示，在平面直角坐标系xoy内，第I象限存在沿y轴正方向的匀强电场，第IV象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场．一质量为m的电子（电量为e，不计重力），从y轴正半轴上y=h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$h处的P点进入第IV象限的磁场后经过y轴的Q点，已知 OQ=OP．（1）求匀强电场的场强大小E；
（2）求粒子经过Q点时速度大小和方向；
（3）求B的大小和方向．
分析 （1）电子在电场中做类平抛运动，水平位移和竖直位移均已知，由牛顿第二定律和运动学公式，运用运动的分解法可求出场强大小E．
（2）由速度的合成法求出电子进入第IV象限磁场时的速度大小和方向，由几何知识确定粒子经过Q点时的方向．电子在磁场中速度的大小不变．
（3）由几何知识分别求出电子在磁场中运动的轨迹半径，由半径公式即可求出B．由左手定则判断B的方向．
解答 解：（1）电子在电场中做类平抛运动
$x={v}_{0}t=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，
h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根据牛顿第二定律得，eE=ma，
解得：E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2eh}$．
（2）画出电子在磁场中运动的轨迹图，
${v}_{y}=at=\sqrt{3}{v}_{0}$，
根据平行四边形定则知，v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2{v}_{0}$
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\sqrt{3}$
解得：θ=60°
因为∠OPO1=30° 又 OQ=OP
由几何关系得∠OQO1=∠OPO1=30°
粒子到达Q点时速度方向与y轴正方向成60°
（3）由几何关系得：$rcos30°+rsin30°=OP=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，
解得$r=（2-\frac{2\sqrt{3}}{3}）h$
由牛顿第二定律得：$evB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{（3+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2eh}$，根据左手定则知，磁场的方向垂直纸面向里．
答：（1）匀强电场的场强大小为$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2eh}$；
（2）粒子经过Q点时速度大小为2v0，速度方向与y轴正方向成60°．
（3）B的大小为$\frac{（3+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{2eh}$，方向垂直纸面向里．
点评 本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，画出轨迹，运用几何知识求出电子的轨迹半径是解题的关键，同时要抓住几个过程之间的联系，比如速度关系、位移关系等．
每课必练系列答案
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一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于 Ox 轴的速度v从y轴上的a点射入第一象限的区域，如图所示．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，则此圆形磁场区域的最小面积为$\frac{π{m}^{2}{v}^{2}}{2{B}^{2}{q}^{2}}$．（重力忽略不计）| A． | 加速上升 | B． | 减速上升 | C． | 加速下降 | D． | 减速下降 |