Question

5．如图所示，在0≤x≤$\sqrt{3}$a、0≤y≤a的长方形区域由垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处由一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计），其速度方向均在xoy平面内的第一象限，且与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，速度大小不同，且满足$\frac{2qBa}{m}$≤v≤$\frac{3qBa}{m}$，已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则下列说法正确的是（　　）

• A． 最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$
• B． 最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间小于$\frac{T}{12}$
• C． 最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{6}$
• D． 最后从磁场中飞出的粒子经历的时间小于$\frac{T}{6}$

Answer 1

分析 由于带电粒子是以不同速度（大小和方向均不同）从坐标原点射入磁场，所以其做匀速圆周运动的半径不同，可以由洛仑兹力提供向心力求得最大的半径和最小的半径，显然向着y轴正方向射出的粒子以最大的半径做匀速圆周运动时，偏转角越小，时间越短．至于最长的时间要根据粒子的半径与磁场边界的几何关系来确定，有两种情况可以肯定：①以最小半径且与上边界相切的可能打在右边界上，画出运动轨迹，由几何关系求出偏转角．②以最小半径最后打在下边界上的粒子，根据对称性也容易求出偏转角．以上两种情况对比，从而可以求得最长时间．

解答 解：带电粒子粒子在磁场中做匀速圆周运动有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
从而求得半径为：r=$\frac{mv}{qB}$，
将题设条件代入得：r_min=2a，r_max=3a，
而带电粒子做匀速圆周运动的周期为：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$．
A、B  显然沿y轴正方向以最大速度射出的粒子最先射出磁场区域，如图所示，偏转角${α}_{min}=arcsin\frac{a}{3a}=arcsin\frac{1}{3}＜\frac{π}{6}$，最短时间小于$\frac{1}{12}T$．所以选项A错误，选项B正确．
C、D   在磁场中运动最长时间的带电粒子是以最小速度从O出发与上边界相切最后从右边界穿出，如图所示，由几何关系可以求出偏转角．由于O2A=a，所以∠OO₂A=60°，
OA=2asin60°=$\sqrt{3}a$，即恰与上边界的端点射出（只是题图有问题）所以此种情况最大偏转角α_max=60°．还有
一种情况是以最小速度射出后从下边界即x轴射出，如图所示，此种情况
的偏转角$α=2arcsin\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{2a}＜60°$，所以最大偏转角取60°则运动的最长时间为$\frac{T}{6}$，
所以选项C正确，选项D错误．
故选：BC

点评 本题的靓点在于最长时间和最短时间的确定：①半径越大，弯曲程度越大，在其他条件相同的情况下，偏转角越小，时间越短．②计算过程中要考虑轨迹与磁场边界的几何关系，由于题图的几何关系不协调，影响了思维．③以最小半径运动的粒子与上边界相切时，要求出切点的横坐标，才能判断与右边界的几何关系．