Question

7．如图所示，在竖直平面内有两根相互平行、电阻忽略不计的金属导轨（足够长），在导轨间接有阻值分别为R₁、R₂的两个电阻，一根质量为m的金属棒ab垂直导轨放置其上，整个装置处于垂直导轨所在平面的匀强磁场中，现让金属棒ab沿导轨由静止开始运动，若只闭合开关S₁，金属棒ab下滑达到的最大速度为v₁；若只闭合开关S₂，金属棒ab下滑高度为h时达到的最大速度为v₂，重力加速度为g，求：
（1）金属棒的电阻r；
（2）在金属棒ab由静止开始到达到最大速度v₂的过程中，通过电阻R₂的电荷量Q．

Answer 1

分析 （1）根据共点力的平衡条件结合安培力的计算公式列方程联立求解金属棒的电阻r；
（2）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律结合电荷量的计算公式求解．

解答 解：（1）设匀强磁场的磁感应强度为B，导轨间的距离为L，
当金属棒的速度达到最大为v₁时，根据共点力的平衡条件可得：mg=BI₁L，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}+r}=\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{1}+r}$，
解得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{R}_{1}+r}$；
当金属棒的速度达到最大为v₂时，根据共点力的平衡条件可得：mg=BI₂L，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{2}+r}=\frac{BL{v}_{2}}{{R}_{2}+r}$，
解得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{{R}_{2}+r}$；
联立解得：r=$\frac{{R}_{2}{v}_{1}-{R}_{1}{v}_{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$；
（2）将r=$\frac{{R}_{2}{v}_{1}-{R}_{1}{v}_{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$代入mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{R}_{1}+r}$解得：BL=$\sqrt{\frac{mg（{R}_{2}-{R}_{1}）}{{v}_{2}-{v}_{1}}}$；
根据法拉第电磁感应定律可得平即感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLh}{△t}$，
根据电荷量的计算公式Q=I•△t可得：
Q=$\frac{△Φ}{r+{R}_{2}}$=$\frac{BLh}{{R}_{2}+r}$=$\frac{h}{{v}_{2}}\sqrt{\frac{mg（{v}_{2}-{v}_{1}）}{{R}_{2}-{R}_{1}}}$．
答：（1）金属棒的电阻为$\frac{{R}_{2}{v}_{1}-{R}_{1}{v}_{2}}{{v}_{2}-{v}_{1}}$；
（2）在金属棒ab由静止开始到达到最大速度v₂的过程中，通过电阻R₂的电荷量为$\frac{h}{{v}_{2}}\sqrt{\frac{mg（{v}_{2}-{v}_{1}）}{{R}_{2}-{R}_{1}}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．