Question

15．在科学研究中常用电场和磁场来控制带电粒子的运动，如图甲所示是一种电荷扩束装置，它由粒子源、加速电场、扩束电场组成，其工作原理可简化为如下过程：粒子源产生的同种带正电粒子（粒子重力忽略不计）经加速电场加速后，以速度v₀连续不断地沿平行金属板A和B的方向从两极板正中央射入匀强扩束电场，已知金属板长为L，相距为d．

（1）当两板电压U₁=U₀时，粒子恰好打在下极板B的中点，求带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若AB间加如图乙所示的方波形，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，从t=0开始，前$\frac{T}{3}$内U_AB=$\frac{{U}_{0}}{2}$，后$\frac{2T}{3}$内U_AB=-$\frac{{U}_{0}}{4}$，上述粒子仍然以速度v₀沿原来方向持续射入电场，求射出电场时粒子束的宽度D；
（3）若紧贴极板右侧建立xOy坐标系，O点为极板右侧的中点，在坐标系的第Ⅰ、Ⅳ象限某区域内存在一个圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于xOy坐标平面，要使从最下方射出的粒子经磁场偏转后经过坐标为（2d，2d）的P点，求磁感应强度B的最大值．

Answer 1

分析 （1）粒子在板中做类平抛运动，水平方向不受力做匀速直线运动，竖直方向在电场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据类平抛运动知识求解即可；
（2）根据粒子在电场方向做匀变速直线运动的规律，可分析出粒子经过一个周期，在竖直方向速度的变化为零，作出粒子在不同时刻进入偏专磁场竖直方向速度随时间变化的图象，根据图象得出偏转最大时粒子进入磁场时间，再根据类平抛运动求解相关结论即可．
（3）因为粒子在电场中偏转时，竖直方向的速度变化量为零，故粒子最终都水平方向离开电场，离开电场后粒子进入磁场做匀速圆周运动经过P点，根据题意作出最下方粒子运动轨迹，根据轨迹求得粒子圆周运动的半径，由洛伦兹力提供圆周运动向心力求得磁感应强度B的大小．

解答 解：（1）设粒子经过时间t₀打在B板中点，
沿极板方向有：$\frac{L}{2}={v}_{0}{t}_{0}$…①
垂直极板方向有：$\frac{1}{2}d=\frac{q{U}_{0}}{2md}{t}_{0}^{2}$…=②
解得：$\frac{q}{m}=\frac{4{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$…③
（2）沿极板方向粒子做匀速直线运动，粒子通过两板时间：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=T$…④
在任一时刻射入的粒子都要在$\frac{{U}_{0}}{2}$的电压下加速$\frac{T}{3}$，在$\frac{-{U}_{0}}{4}$的电压下加速$\frac{2T}{3}$，粒子射出电场时沿电场方向上的速度v_y=0，因此射出电场粒子的速度与极板平行，大小仍为v₀．…=⑤
不同时刻从O₁点进入电场的粒子在电场方向的速度v_y随时间t变化的关系如图所示．

可以确定在t=nT时刻进入电场的粒子射出时向下的偏距最大，$t=nT+\frac{1}{3}T$ 时刻进入电场的粒子射出时向上的偏距最大，并且向上向下的最大偏距大小相等．
${y}_{max}=\overline{{v}_{y}}T$…⑥
$\overline{{v}_{y}}=\frac{{U}_{0}q}{4dm}g\frac{T}{3}$⑦
射出电场时粒子束的宽度D=2y_max…⑧
解得：$D=\frac{2}{3}d$…⑨
（3）所有粒子射出电场时速度方向都平行于x轴，大小为v₀．
如图：

当从最下方射出的粒子沿图中虚线所示的路径经过P点时，磁场区半径最小，并且有：
$2{r}_{min}=2d+\frac{d}{3}$…⑩
设粒子在磁场中的运动半径为r，则：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$…⑪
由⑩、⑪两式可以解得磁感应强度有最大值：${B}_{max}=\frac{6m{v}_{0}}{7dq}$=$\frac{3{U}_{0}{L}^{2}}{14{v}_{0}{d}^{3}}$…⑫
答：（1）带电粒子的比荷为$\frac{4{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$
（2）射出电场时粒子束的宽度为$\frac{2}{3}d$
（3）磁感应强度B的最大值为$\frac{3{U}_{0}{L}^{2}}{14{v}_{0}{d}^{3}}$．

点评 本题的难点是分析带电粒子的运动情况，电荷在电场中的偏转做类平抛运动，关键是运动的合成与分解；电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径