Question

13．2016年1月5日上午，国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的嫦娥三号探测器着陆点周边区域命名为“广寒宫”，附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天市”、“太微”．此次成功命名，是以中国元素命名的月球地理实体达到22个．质量为m的人造地球卫星与月心的距离为r时，重力势能可表示为$E_p=-\frac{GMm}{r}$，其中G为引力常量，M为月球质量．若“嫦娥三号”在原来半径为 R₁的轨道上绕月球做匀速圆周运动，由于受到及稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为 R₂，已知：月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，地球表面的重力加速度为g，此过程中因摩擦而产生的热量为（　　）

• A． $m{g_0}{R^2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$
• B． $mg{R^2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$
• C． $\frac{{mg{R^2}}}{2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$
• D． $\frac{{m{g_0}{R^2}}}{2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出卫星在不同轨道上做圆周运动时动能，结合重力势能的大小，根据能量守恒定律，结合黄金代换式求出产生的热量．

解答 解：卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则轨道半径为R₁时，有：$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$  ①
卫星的引力势能${E}_{p1}=\frac{GMm}{{R}_{1}}$   ②
轨道半径为R₂时有：$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$   ③
卫星的引力势能${E}_{p2}=-\frac{GMm}{{R}_{2}}$  ④
设摩擦力而产生的热量为Q，根据能量守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{E}_{p1}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+{E}_{p2}+Q$⑤，
由黄金代换式得，GM=${g}_{0}{R}^{2}$   ⑥
联立①～⑥得，Q=$\frac{{m{g_0}{R^2}}}{2}（{\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}}）$，故D正确，A、B、C错误．
故选：D．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、能量守恒，掌握万有引力定律的两个重要理论：万有引力提供向心力，万有引力等于重力，并能灵活运用．