Question

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端连一个质量为m的小球，球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变．若挡板A以加速度a（a＜gsinθ）沿斜面向下匀加速运动，问：
（1）小球向下运动多少距离时速度最大？
（2）从开始运动到小球与挡板分离所经历的时间为多少？

Answer 1

分析：（1）对球受力分析可知，当球受力平衡时，速度最大，此时弹簧的弹力与物体重力沿斜面的分力相等；
（2）从开始运动到小球与挡板分离的过程中，挡板A始终以加速度a匀加速运动，由挡板运动的位移可以求得物体运动的时间．

解答：解：（1）球和挡板分离后做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，此时物体所受合力为零．
即 kx_m=mgsinθ，
解得 x_m=

mgsinθ

k

．
所以速度最大时运动的距离为

mgsinθ

k

．
（2）设球与挡板分离时位移为s，经历的时间为t，
从开始运动到分离的过程中，m受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的挡板支持力F₁和弹簧弹力F．
根据牛顿第二定律有 mgsinθ-F-F₁=ma，
                F=kx．
随着x的增大，F增大，F₁减小，保持a不变，
当m与挡板分离时，x增大到等于s，F₁减小到零，则有：
mgsinθ-ks=ma，
又s=

1

2

at²
联立解得 mgsinθ-k?

1

2

at²=ma，
所以经历的时间为 t=

2m(gsinθ-a) ka

．

点评：在挡板运动的过程中，挡板对球的支持力的大小是在不断减小的，从而可以使球和挡板一起以恒定的加速度运动，在运动的过程中物体的受力在变化，但是物体的加速度不变，从而可以求得物体运动的位移和运动的时间．