Question

17．如图所示，足够长的光滑细杆水平放置．质量为m的圆环C套在细杆上，长为l的轻质细绳一端拴在圆环底部的O点，另一端栓接质量为2m的小球B．质量为m的小球A通过长为l的轻质细绳一端固定在细杆上．A、B两球静止悬挂，两球刚好接触，球心在同一水平线上．将小球A拉到与O点登高处，使细绳伸直后由静止释放．不考虑A、B两球碰撞时的机械能损失，细绳的形变及空气阻力的影响．重力加速度为g．
（1）求小球A运动到最低点与B球碰撞前细绳中拉力的大小；
（2）A、B两球第一次碰撞后摆动的最大高度分别是多少？

Answer 1

分析 （1）小球下摆过程中机械能守恒，由机械能守恒定律求小球A运动到最低点的速度．再由向心力公式求细绳中拉力的大小；
（2）A、B两球碰撞时不计机械能损失，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，可求得碰后两者的速度．再对BC组成的系统研究，当两者速度相同时B上升到最大高度，由水平动量守恒和机械能守恒求B摆动的最大高度．对碰后A，运用机械能守恒定律求A摆动的最大高度．

解答 解：（1）设小球A到达最低点与B碰撞前的速度为v₀．由动能定理得
   mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
设A与B球碰撞前细绳中拉力的大小为F，由牛顿第二定律得
   F-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{l}$
解得 v₀=$\sqrt{2gl}$，F=3mg
（2）设A、B两球碰后瞬间速度分别为v_A和v_B．以A、B两球组成的系统为研究对象，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得
   mv₀=mv_A+2mv_B．
由机械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$×2mv_B²．
对A球，设摆动的最大高度为h，由机械能守恒定律得 
  $\frac{1}{2}$mv_A²=mgh
解得 h=$\frac{1}{9}$l
以B、C组成的系统为研究对象，当B球向右摆动到最高点时圆环C与小球B水平速度相同，设此时速度为v，B球上摆的最大高度为H，取水平向右为正方向，由水平动量守恒得
  2mv_B=3mv
  $\frac{1}{2}$×2mv_B²=$\frac{1}{2}$×3mv²+2mgH
解得 H=$\frac{4}{27}$l
答：
（1）小球A运动到最低点与B球碰撞前细绳中拉力的大小是3mg；
（2）A、B两球第一次碰撞后摆动的最大高度分别是$\frac{1}{9}$l和$\frac{4}{27}$l．

点评 解决本题的关键是要理清三球的运动过程，知道弹性碰撞遵守两大守恒：动量守恒和动能守恒．要注意B上摆过程中，BC系统的水平动量守恒，但总动量并不守恒．