Question

5．如图是一个半径为R的竖直圆形磁场区域，圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，O为圆心，P为边界上的一点．质量相同电荷量不同的带正电粒子a、b以相同的速率从P点同时射入磁场中，粒子a沿PO方向射入，离开磁场时速度方向改变了60°，粒子b射入磁场时的速度方向与PO方向成60°，若它们在同一位置离开磁场，不计重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（　　）

• A． 两粒子的电荷量之比为$\frac{{q}_{a}}{{q}_{b}}$=$\frac{1}{2}$
• B． 两粒子在磁场中运动的时间之比为$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$=$\frac{2}{3}$
• C． 两粒子在磁场中运动的轨迹长度之比为$\frac{{s}_{a}}{{s}_{b}}$=$\frac{3}{2}$
• D． 两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为$\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}$=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由粒子a的速度方向的变化得到圆周运动的半径，再根据b的速度方向求得b的半径；由洛伦兹力作向心力求得电荷之比及周期之比，进而得到运动时间的比值．

解答 解：D、粒子a沿PO方向射入，离开磁场时速度方向改变了60°，则如图所示，
，
${r}_{a}=\frac{R}{tan30°}=\sqrt{3}R$；
粒子b射入磁场时的速度方向与PO方向成60°，则如图所示，若a，b在同一位置离开磁场，则粒子b转过180°，半径${r}_{b}=Rsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$；
所以，两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为$\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}$=2，故D错误；
C、由D分析可知：两粒子在磁场中运动的轨迹长度之比为$\frac{{s}_{a}}{{s}_{b}}$=$\frac{\frac{60°}{360°}×2π{r}_{a}}{\frac{180°}{360°}×2π{r}_{b}}=\frac{1}{3}×\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}=\frac{2}{3}$，故C错误；
A、粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，则有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，所以，$q=\frac{mv}{Br}$，那么两粒子的电荷量之比为$\frac{{q}_{a}}{{q}_{b}}$=$\frac{{r}_{b}}{{r}_{a}}$=$\frac{1}{2}$，故A正确；
B、粒子在磁场中做圆周运动的周期$T=\frac{2πr}{v}$，所以两粒子在磁场中运动的时间之比为$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$=$\frac{\frac{60°}{360°}{T}_{a}}{\frac{180°}{360°}{T}_{b}}=\frac{1}{3}×\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}=\frac{2}{3}$；故B正确．
故选：AB．

点评 带电粒子在磁场中运动，圆心在速度的垂线上，也在弦长的垂直平分线上，故可求得两线的交点即为圆心．