Question

10．如图所示，两根互相平行的光滑金属导轨倾斜放置，导轨平面与水平面夹角为30°，导轨间距L=1m，电阻忽略不计．垂直导轨的虚线间有一匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，方向垂直导轨平面向下，磁场区域的宽度d=0.8m，导体棒a质量m_a=0.25kg，电阻R_a=0.5Ω，导体棒b的质量m_b=0.05kg，电阻R_b=1.5Ω，它们分别从图中M，N处同时由静止释放，b恰好匀速穿过磁场区域，且当b刚穿过磁场时a正好进入磁场，重力加速度g=10m/s²，不计a，b棒之间的相互作用，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，求：
（1）b棒进入磁场时的速度大小；
（2）a棒刚进入磁场时两端的电压；
（3）为保持a棒以进入时的加速度做匀加速运动，需对a棒施加平行于导轨向下的外力F作用，求F随时间t的变化关系．

Answer 1

分析 （1）因为b棒进入磁场后做匀速直线运动，所以受力平衡，再结合闭合电路欧姆定律以及法拉第电磁感应定律E=BLv，联立求解即可；
（2）利用b棒在磁场中的匀速直线运动，求出其在磁场中运动时间，根据b刚穿过磁场时a正好进入磁场，利用运动学规律可求a棒进入磁场时的速度，进而求解a棒进入磁场时切割磁感线产生的感应电动势，再根据串联分压公式，即可求解a棒刚进入磁场时两端的电压；
（3）分析可知：随着速度的均匀增加可知安培力F_安也逐渐增大，要保证合外力为一定值，F也应逐渐增大．根据牛顿第二定律求出a棒刚进入磁场时的加速度，结合运动学规律，求出a棒进入磁场t时间的速度，t时刻对a棒运用牛顿第二定律，对整个回路运用闭合电路欧姆定律，联立即可求解F与t的关系式．

解答 解：（1）当b棒刚进入磁场时，产生的感应电动势为：E=BLv ①
由闭合电路欧姆定律得：E=I（R_a+R_b） ②
由力学平衡条件得：m_bgsin30°=BIL ③
联立①②③式，代入数据解得：v=2m/s ④
（2）b棒在磁场运动的时间为t_b，则有：d=vt_b ⑤
a、b棒在磁场外运动时，速度总是相等的，b棒进入磁场后，a棒继续加速t时间而进入磁场，a棒进入磁场时的速度为v_a，
则：v_a=v+gt_bsin30° ⑥
此时，a棒产生的电动势为：E_a=BLv_a ⑦
其两端的电压为：U=$\frac{{R}_{b}}{{R}_{a}+{R}_{b}}$E ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得：U=1.5v
（3）a棒刚进入磁场时，根据牛顿第二定律可得：m_agsin30°-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{a}{+R}_{b}}$=m_aa ⑨
a棒进入磁场后t时刻的速度：v₂=v_a+at ⑩
根据闭合电路欧姆定律可得此时电流：I=$\frac{BL{v}_{2}}{{R}_{a}+{R}_{b}}$⑪
t时刻，对a棒运用牛顿第二定律得：F+m_agsin30°-BIL=m_aa⑫
联立⑨⑩⑪⑫，代入数据后得：F=$\frac{3}{8}$t=0.375t
答：（1）b棒进入磁场时的速度大小为2m/s；
（2）a棒刚进入磁场时两端的电压为1.5v；
（3）为保持a棒以进入时的加速度做匀加速运动，需对a棒施加平行于导轨向下的外力F作用，F随时间t的变化关系为F=0.375t．

点评 本题考查电磁感应导体棒切割磁场模型，难度不大，但过程较多，要注意分好过程，针对每一个过程的运动形式选择合适的规律解决；本题要求大家熟练掌握法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律、匀变速直线运动的规律以及闭合电路欧姆定律的综合运用，对于第三问这类求表达式的问题，可以理解为，将其中一个量作为已知去求解另一个量，所以本题第三问可理解为：为保持a棒以进入时的加速度做匀加速运动，求a棒进入磁场后t时刻力F的大小．