Question

20．如图所示半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止放着一个可视为质点的带正电的光滑小球，小球质量为m，所带电荷量为q．轨道的上半圆部分处于水平向右，场强大小E=$\frac{4mg}{3q}$的匀强电场中．现给小球一个水平向右的冲量，使其在瞬间获得水平初速度，则小球恰好能在轨道内完成圆周运动的冲量I₀大小为（　　）

• A． m$\sqrt{5gR}$
• B． m$\sqrt{7gR}$
• C． m$\sqrt{\frac{23}{3}gR}$
• D． m$\sqrt{\frac{29}{3}gR}$

Answer 1

分析 该题为竖直平面内的圆周运动的题目，需要先判断出小球在竖直平面内的等效最高点，求出在等效最高点的合力的大小，然后由牛顿第二定律求出小球在等效最高点的速度，由功能关系求出小球在最低点的速度，最后由动量定理求出小球恰好能在轨道内完成圆周运动的冲量I₀大小．

解答 解：由题可知，小球在竖直平面内运动的过程中，在轨道的上半部分受到重力、电场力以及轨道的支持力，当小球受到的重力与电场力的方向指向圆心时，该点为小球运动的等效最高点，设该点为P，小球的受力如图，则：

所以：$tanθ=\frac{qE}{mg}=\frac{q•\frac{4mg}{3q}}{mg}=\frac{4}{3}$
所以：θ=53°
小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点受到的合力提供向心力，则：
${F}_{合}=\frac{m{v}_{P}^{2}}{R}$  ①
其中：${F}_{合}=\frac{mg}{cosθ}$  ②
小球带正电，则小球从最低点到P的过程中重力与电场力都做负功，由动能定理得：
$-mgR（1+cosθ）-qER（1+sinθ）=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  ③
联立得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{29}{3}gR}$
根据动量定理，小球在最低点：I₀=mv₀-0④
所以：${I}_{0}=m•{v}_{0}=m\sqrt{\frac{29}{3}gR}$．故ABC错误，D正确．
故选：D

点评 该题结合复合场的情景考查竖直平面内的圆周运动，解答的关键是先找出小球运动过程中的等效最高点，求出小球恰好经过等效最高点的速度．